PENDULES & MOUVEMENTS PENDULAIRES

Pendule de Foucault

Dans la célèbre expérience réalisée par Léon Foucault au Panthéon (Paris), le pendule était écarté de sa position initiale et rattaché à un mur par un fil, le pendule étant ainsi immobile par rapport à la Terre. Cette expérience peut actuellement être réalisée au Conservatoire national des arts et métiers (Paris), mais la longueur l du pendule y est très inférieure à 67 m, longueur du pendule original de Foucault. Si on brûle le fil, le pendule se met en mouvement avec une vitesse initiale nulle par rapport à des axes liés à la Terre.

Soit O le point d'attache du pendule, z_T le vecteur unitaire vertical ascendant (lié à la Terre) au lieu d'expérience (de latitude λ), x_T le vecteur unitaire dirigé vers le sud et y_T celui qui est dirigé vers l'est ; on désignera le repère ainsi défini par (O|x, y, z) pour simplifier les notations. Les équations du mouvement du pendule sont (en projection sur le plan Oxy) :

où Ω est la vitesse de rotation de la Terre (7,29 × 10^-5 radian par seconde). On fait intervenir comme variable l'affixe f = x + iy de la projection P (sur xOy) du pendule considéré comme « ponctuel » ; l'équation qui régit cet affixe est :et l'on pose :ce qui conduit à l'équation différentielle :régissant l'affixe F de P par rapport aux axes mobiles OXY tels que (→X, x) = (→Y, y) = Ωt sin λ (mesuré sur z). On remarque que √g/l est de l'ordre de l'unité, tandis que Ω sin λ est de l'ordre de 10^-5 ; par conséquent, on peut écrire tout simplement :

L'affixe f étant défini à une constante multiplicative (complexe) près, on peut supposer qu'on ait, à la date t = 0 de début d'expérience,

donc :

Il en résulte que :

avec ω = √g/l.

Ainsi le point P est animé d'un mouvement elliptique par rapport à des axes de référence qui tournent par rapport à la Terre en sens inverse du sens défini sur l'ellipse (trajectoire relative). Dans l'expérience de Foucault, X₀ = 3 m, la période du mouvement sur l'ellipse est de 16 s, la période de rotation des axes [...]

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