PENDULES & MOUVEMENTS PENDULAIRES

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Mouvement pendulaire relatif à un repère quelconque

Comme premier exemple de pendule (S) dont le mouvement est rapporté à un repère quelconque (λ), considérons le cas où l'axe Oλzλ = Oszs = Oz de l'articulation rotoïde coïncide avec l'axe de révolution d'un cylindre homogène (Γ) de rayon b et de masse μ, assujetti à rouler sans glisser sur le plan horizontal (Ogygzg), l'axe xg étant vertical descendant et les axes yg et z étant confondus. Ce cas est celui du pendule d'Euler. Les notations concernant (S) sont les mêmes que précédemment. On note :

K étant le moment d'inertie de (Γ) par rapport à Oz. On obtient alors la force vive de l'ensemble mécanique constitué de la réunion de (S) et de (Γ) :
ainsi que la puissance galiléenne développée par les efforts agissant sur cet ensemble, le rotoïde d'axe Oz liant (S) et (Γ) étant supposé parfait,

Pendule d'Euler

Dessin : Pendule d'Euler

Dessin

Pendule d'Euler 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Les équations du mouvement de l'ensemble sont alors :

ou encore, en reportant la valeur de y′ déduite de la première des deux équations précédentes,
avec :

On trouve l'équation différentielle régissant les variations de α :

qui se réduit à :
dans le cas où α et ses dérivées restent petits. On obtient alors :

Puisque Ω est supérieur à ω, la période du mouvement α a diminué par rapport au cas du pendule précédent.

On remarque qu'au cours du mouvement ainsi créé le cylindre (Γ) roule avec une vitesse de valeur algébrique moyenne W, c'est-à-dire que, si l'on ne prévoyait pas de butées élastiques pour (Γ), le système serait animé d'un mouvement pendulaire α par rapport au repère (λ) = (O|xg, yg, z), lui-même animé d'un mouvement de translation de vitesse moyenne Wyg.

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Oscillations synchrones

Oscillations synchrones
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Pendule d'Euler

Pendule d'Euler
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Pendule double

Pendule double
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Pendule de Foucault

Pendule de Foucault
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  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

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Pour citer l’article

Michel CAZIN, « PENDULES & MOUVEMENTS PENDULAIRES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 15 juin 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/pendules-et-mouvements-pendulaires/