OPTIMISATION & CONTRÔLE

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Problème de Dirichlet : solution

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Convexifiée

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Les problèmes concrets

On ne parlera ici ni des problèmes en dimension finie (cf. programmation mathématique) ni des méthodes numériques (cf. analyse numérique).

Équations aux dérivées partielles

Soit Ω un ouvert borné de Rn. Si l'on cherche, dans un espace fonctionnel approprié, les fonctions x : Ω → RN prenant des valeurs données sur le bord de Ω et minimisant l'intégrale :

où (∂x/∂t) (t) représente la matrice des (∂xj/∂ti) (t) et f (txy) est une fonction donnée, on obtient comme condition nécessaire du premier ordre les équations d'Euler-Lagrange :

Beaucoup d'équations issues de la physique sont de ce type (on dit alors qu'on a affaire à un problème variationnel). Il est cependant fréquent que les solutions physiques ne minimisent pas l'intégrale ci-dessus, mais correspondent à d'autres types de points critiques.

Il reste cependant des cas (problèmes elliptiques essentiellement) où l'on peut ramener la résolution d'une équation aux dérivées partielles à un problème d'optimisation. Le cas classique est le problème de Dirichlet (avec N = 1) :

qui se ramène à la minimisation de l'intégrale :
où, pour chaque t fixé, F(t, () est une primitive de (t, (). Si F(t, () est convexe, c'est-à-dire si (t, () est croissante, les deux problèmes sont équivalents, et ont une solution unique. Si F(t, () est simplement minorée par une fonction convexe, l'intégrale admet un minimum qui résoudra le problème de Dirichlet.

Les moyens modernes, particulièrement la théorie des espaces de Sobolev, permettent d'étendre cette méthode à des situations plus compliquées. La nécessité de résoudre le problème d'optimisation correspondant, et donc d'employer le théorème d'existence cité plus haut, conduit à quelques traits généraux :

(a) les termes d'ordre supérieur (2 dans l'exemple cité) doivent constituer le sous-différentiel d'une fonction convexe : on dit qu'ils sont elliptiques. Les termes d'ordre inférieur sont moins déterminants, et peuvent en général être traités par des méthodes de compacité ;

(b) les espaces fonctionnels où l'on cherche la solution doivent être réflexifs, ce qui exclut l [...]


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Écrit par :

  • : professeur de mathématiques à l'université de Paris-IX-Dauphine (Centre de recherche de mathématiques de la décision). président honoraire à l'Université Paris-Dauphine

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Pour citer l’article

Ivar EKELAND, « OPTIMISATION & CONTRÔLE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 10 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/optimisation-et-controle/