OPTIMISATION & CONTRÔLE

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Les problèmes concrets

On ne parlera ici ni des problèmes en dimension finie (cf. programmation mathématique) ni des méthodes numériques (cf. analyse numérique).

Équations aux dérivées partielles

Soit Ω un ouvert borné de Rn. Si l'on cherche, dans un espace fonctionnel approprié, les fonctions x : Ω → RN prenant des valeurs données sur le bord de Ω et minimisant l'intégrale :

où (∂x/∂t) (t) représente la matrice des (∂xj/∂ti) (t) et f (txy) est une fonction donnée, on obtient comme condition nécessaire du premier ordre les équations d'Euler-Lagrange :

Beaucoup d'équations issues de la physique sont de ce type (on dit alors qu'on a affaire à un problème variationnel). Il est cependant fréquent que les solutions physiques ne minimisent pas l'intégrale ci-dessus, mais correspondent à d'autres types de points critiques.

Il reste cependant des cas (problèmes elliptiques essentiellement) où l'on peut ramener la résolution d'une équation aux dérivées partielles à un problème d'optimisation. Le cas classique est le problème de Dirichlet (avec N = 1) :

qui se ramène à la minimisation de l'intégrale :
où, pour chaque t fixé, F(t, () est une primitive de (t, (). Si F(t, () est convexe, c'est-à-dire si (t, () est croissante, les deux problèmes sont équivalents, et ont une solution unique. Si F(t, () est simplement minorée par une fonction convexe, l'intégrale admet un minimum qui résoudra le problème de Dirichlet.

Les moyens modernes, particulièrement la théorie des espaces de Sobolev, permettent d'étendre cette méthode à des situations plus compliquées. La nécessité de résoudre le problème d'optimisation correspondant, et donc d'employer le théorème d'existence cité plus haut, conduit à quelques traits généraux :

(a) les termes d'ordre supérieur (2 dans l'exemple cité) doivent constituer le sous-différentiel d'une fonction convexe : on dit qu'ils sont elliptiques. Les termes d'ordre inférieur sont moins déterminants, et peuvent en général être traités par des méthodes de compacité ;

(b) les espaces fonctionnels où l'on cherche la solution doivent être réflexifs, ce qui exclut l'usage de Cr. Il faudra travailler dans des espaces construits à partir des Lp, 1 < < ∞, et la solution du problème d'optimisation ne sera pas nécessairement différentiable, et ne vérifiera l'équation désirée qu'en un sens à préciser (solution faible). La résolution complète de l'équation nécessitera donc une deuxième étape, où l'on montrera par des méthodes ad hoc que la solution faible trouvée est en fait suffisamment différentiable pour vérifier l'équation en chaque point (solution classique) : c'est le problème de la régularité, qui est ainsi séparé du problème de l'existence.

Le cas des systèmes (N > 1) est encore mal compris, et suscite beaucoup d'intérêt à l'heure actuelle, en liaison avec certains problèmes de mécanique des solides (élasticité non linéaire).

À côté des simples équations, les inéquations ont maintenant acquis droit de cité. Elles apparaissent naturellement quand on envisage ces problèmes sous l'angle de l'optimisation. Ainsi, la condition nécessaire et suffisante d'optimalité dans le cas convexe (cf. supra) s'écrira :

On dit que est une solution de l'inéquation variationnelle :

Cette notion est apparue comme essentielle pour la formulation correcte d'un grand nombre de problèmes de mécanique et de physique (frottement sec, problèmes avec obstacle). Ainsi, par exemple, le problème de Dirichlet avec un obstacle symbolisé par la fonction ϕ(t)

s'écrit comme l'inéquation variationnelle :
que l'on préfère mettre sous la forme suivante :
et qui conduit à une solution du type donné dans la figure (avec n = 1) :

Problème de Dirichlet : solution

Dessin : Problème de Dirichlet : solution

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Des problèmes plus compliqués, issus du contrôle optimal, ont conduit à la considération d'inéquations quasi variationnelles, où l'ensemble X dépend du point considéré :

Les inéquations variationnelles ont été introduites et étudiées systématiquement par les écoles française et italienne, autour de Lions, Brezis et Stampacchia, vers la fin des années soixante. Depuis lors, elles se sont révélées un modèle commode pour décrire nombre de phénomènes mécaniques, comme l'élastoplasticité, le frottement sec, la diffusion à travers une membrane semi-perméable, l'écoulement des fluides de Bingham, l'infiltration de l'eau à travers un barrage poreux, et ont suscité une multitude de travaux à travers le monde. Les inéquations quasi variationnelles sont apparues plus tardivement, dans les travaux de Bensoussan et Lions, pour résoudre certains p [...]

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Problème de Dirichlet : solution

Problème de Dirichlet : solution
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Convexifiée

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Écrit par :

  • : professeur de mathématiques à l'université de Paris-IX-Dauphine (Centre de recherche de mathématiques de la décision). président honoraire à l'Université Paris-Dauphine

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Pour citer l’article

Ivar EKELAND, « OPTIMISATION & CONTRÔLE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 juin 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/optimisation-et-controle/