MÉCANIQUEMécanique analytique

La mécanique analytique représente une approche de la mécanique rationnelle qui s'est développée, à partir des travaux de Maupertuis (1744), dans un certain isolement par rapport aux autres branches de la mécanique et de la physique. Le point de départ en est le « principe de moindre action », qui permet de déterminer le mouvement d'un point matériel dans un champ de forces. Si on considère le mouvement le long d'un arc de trajectoire AB et que l'on évalue l'intégrale curviligne :

(action de Maupertuis), on peut montrer que cette quantité est minimale par rapport à tous les mouvements voisins passant par A et B aux mêmes instants et possédant la même énergie que le mouvement réel. Réciproquement, cette condition d'action minimale permet de déterminer univoquement le mouvement. Elle est donc équivalente à la loi de Newton :

qui détermine le mouvement localement et de proche en proche. Ce principe diffère très profondément de celui de Newton. Il oblige à considérer le mouvement globalement, comme un tout, et à le comparer à une infinité de mouvements virtuels parmi lesquels il est privilégié. Il a conduit à une reconstruction de la mécanique sous une forme très abstraite qui supprime l'image des points matériels tirés par des forces, et qui suggère finalement la considération d'un « espace des mouvements » où sont représentés l'ensemble des mouvements possibles, chaque mouvement étant un point de cet espace. Sous cette forme la mécanique analytique se trouve particulièrement apte à traiter les théories qui considèrent, non un seul mouvement réel, mais une collection de mouvements possibles, c'est-à-dire la mécanique statistique et la mécanique quantique.

Formalisme lagrangien

Principe des travaux virtuels

On s'intéresse ici à l'étude d'un système dynamique classique, c'est-à-dire d'un assemblage de k points matériels qui peuvent être soumis à des liaisons (exemples : certains points peuvent être astreints à se mouvoir sur une courbe ou [...]

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