MÉCANIQUEMécanique analytique

La mécanique analytique représente une approche de la mécanique rationnelle qui s'est développée, à partir des travaux de Maupertuis (1744), dans un certain isolement par rapport aux autres branches de la mécanique et de la physique. Le point de départ en est le « principe de moindre action », qui permet de déterminer le mouvement d'un point matériel dans un champ de forces. Si on considère le mouvement le long d'un arc de trajectoire AB et que l'on évalue l'intégrale curviligne :

(action de Maupertuis), on peut montrer que cette quantité est minimale par rapport à tous les mouvements voisins passant par A et B aux mêmes instants et possédant la même énergie que le mouvement réel. Réciproquement, cette condition d'action minimale permet de déterminer univoquement le mouvement. Elle est donc équivalente à la loi de Newton :

qui détermine le mouvement localement et de proche en proche. Ce principe diffère très profondément de celui de Newton. Il oblige à considérer le mouvement globalement, comme un tout, et à le comparer à une infinité de mouvements virtuels parmi lesquels il est privilégié. Il a conduit à une reconstruction de la mécanique sous une forme très abstraite qui supprime l'image des points matériels tirés par des forces, et qui suggère finalement la considération d'un « espace des mouvements » où sont représentés l'ensemble des mouvements possibles, chaque mouvement étant un point de cet espace. Sous cette forme la mécanique analytique se trouve particulièrement apte à traiter les théories qui considèrent, non un seul mouvement réel, mais une collection de mouvements possibles, c'est-à-dire la mécanique statistique et la mécanique quantique.

Formalisme lagrangien

Principe des travaux virtuels

On s'intéresse ici à l'étude d'un système dynamique classique, c'est-à-dire d'un assemblage de k points matériels qui peuvent être soumis à des liaisons (exemples : certains points peuvent être astreints à se mouvoir sur une courbe ou une surface donnée ; deux points peuvent être liés de sorte que leur distance reste constante ; etc.).

On numérote les points par un indice j, avec j = 1, 2, ..., k, et l'on désigne par r_j la position géométrique du point numéro j, par m_j sa masse, par F_j la résultante des forces que l'on exerce sur lui. Les mécanismes assurant les liaisons peuvent exercer par ailleurs une force supplémentaire f_j, appelée « force de liaison » ou force « de contact » (exemple : si un point matériel est lié par un fil inextensible à un point fixe, la liaison lui impose de rester sur une sphère ; la force de liaison est mesurée par la tension du fil). Le mouvement du système est alors déterminé par la loi de Newton :

où j = 1, 2, ..., k ; on note par un point la dérivation par rapport au temps ; .r_j est le vecteur vitesse du point numéro j, ..r_j son accélération.

Imaginons, pour chaque point r_j, un « déplacement virtuel » infinitésimal δr_j, compatible avec les liaisons telles qu'elles existent à l'instant t (exemple : si r_j est astreint à se déplacer sur une sphère, δr_j est un vecteur quelconque tangent à la sphère) ; il résulte évidemment des équations (1) que l'on a :

(les crochets <,> désignent le produit scalaire ordinaire).

Réciproquement, le système (1) est vérifié si l'égalité (2) est valable quels que soient les déplacements virtuels δr_j compatibles avec les liaisons : tel est le résultat découvert par d'Alembert (Traité de dynamique, 1743), que l'on appelle principe des travaux virtuels (parce que le terme écrit à droite de (2) est le travail des forces dans le « déplacement virtuel » défini par les δr_j).

Dans le cas où les liaisons sont parfaites (exemples : glissements sans frottement ; liaisons des points à l'intérieur d'un solide), les forces de liaison ne travaillent pas, ce qui s'exprime par la condition :

On peut alors remplacer l'équation (2) par :

ce qui permet d'étudier le mouvement du système sans se préoccuper des forces de liaison.

Équations de Lagrange

Dans de nombreux cas, on peut utiliser les équations définissant les liaisons pour exprimer la position de chaque point au moyen d'un nombre réduit de paramètres ; de façon précise on dit que le système est holonôme si l'on peut choisir des paramètres indépendants q¹, q², ..., qⁿ tels que l'on sache exprimer la position r_j de chaque point en fonction de q¹, ..., qⁿ, et éventuellement du [...]

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