MÉCANIQUEMécanique analytique

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Formalisme canonique

Formalisme hamiltonien

Récapitulons les calculs qui interviennent lorsqu'on applique les équations de Lagrange à un système répondant aux conditions précédentes.

– On considère les variables qk, .qk et t comme indépendantes, et on écrit la fonction lagrangienne :

– On calcule les dérivées partielles :

pk est le moment canoniquement conjugué de qk.

– On résout les équations différentielles :

(On reconnaît les équations de Lagrange (14) et la définition initiale des variables .qk.)

Si on développe le système (22), on constate qu'il se compose de n équations dans lesquelles les variables .qk interviennent linéairement, et que le déterminant des coefficients n'est pas nul (cela résulte du fait que l'énergie cinétique est une forme quadratique définie positive) ; on peut donc résoudre ces équations par rapport aux .qk ; ce que nous noterons :

Introduisons maintenant une nouvelle grandeur, le hamiltonien du système, qui est par définition la quantité :

En remplaçant dans cette relation Q. par son expression (24), on exprime évidemment H en fonction de P, Q et t :

La fonction ainsi définie s'appelle fonction hamiltonienne.

Donnons une variation arbitraire δ aux variables P et Q ; la dérivation de (25) donne évidemment :

soit, en se souvenant que :

En comparant avec les résultats de la dérivation directe de (26), on trouve donc les identités :

En utilisant ces identités, les équations du mouvement (23) se transforment immédiatement en :

Telles sont les équations de Hamilton (1834), appelées aussi équations canoniques ; elles montrent qu'il suffit de connaître la fonction hamiltonienne pour déterminer les équations du mouvement. On les interprète souvent en considérant que les « variables canoniques » pk et qk sont les coordonnées d'un point qui se meut dans un espace à 2 n dimensions, appelé espace de phase.

Formalisme symplectique

Désignons par Y une condition initiale quelconque du système : pour déterminer Y, il faut se donner une date t, ainsi que la position et la vitesse de tous les points du système à cette date.

Nous avons remarqué que l'on connaît ces positi [...]


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Pour citer l’article

Francis HALBWACHS, Jean-Marie SOURIAU, « MÉCANIQUE - Mécanique analytique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 septembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/mecanique-mecanique-analytique/