BOREL ÉMILE (1871-1956)

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L'œuvre scientifique

Théorie des fonctions

Sommation des séries divergentes. L'intervention fréquente des séries divergentes dans la théorie des fonctions analytiques, par exemple, conduisit Borel à rendre ces séries « convergentes » en un sens plus général ; dans son ouvrage Leçons sur les séries divergentes, il étudie divers procédés de sommabilité, dont le plus important est la sommabilité exponentielle obtenue ainsi. Si un est le terme général d'une série numérique, posons sn = u0 + ... + un ; soit de plus

Si la série :
est convergente pour a assez grand et si la somme m(a) tend vers une limite s pour a tendant vers l'infini, on dit que la série de terme général un est sommable, de somme généralisée s. Le procédé de sommation ainsi défini est linéaire et généralise la sommation usuelle, car toute série convergente est sommable avec la même somme généralisée. Indiquons que la théorie s'étend au cas d'une suite de « poids » p0(a), ..., pn(a), ... satisfaisant aux seules conditions

Théorie des ensembles et mesure des ensembles. Le premier, Borel définit les ensembles de nombres réels « de mesure nulle », comme pouvant être, quel que soit ε> 0, recouvert par une famille dénombrable de segments dont la somme des longueurs est inférieure à ε. Il construisit la classe d'ensembles, appelés de nos jours boréliens, qu'on peut définir à partir des ensembles ouverts en itérant indéfiniment les opérations de réunion dénombrable et de « différence » A – B = A ∩ B′ (où B′ est le complémentaire de B) et montra que l'on peut définir pour ces ensembles une mesure additivement dénombrable, généralisant la longueur des intervalles. Ces notions servirent de point de départ à toute une série de travaux sur la classification des ensembles de points et permirent à Lebesgue de construire sa célèbre théorie de l'intégration ; remarquons qu'on n'est pas très loin des ensembles mesurables les plus généraux (au sens de Lebesgue) puisqu'un tel ensemble est la réunion d'un ensemble borélien et d'un ensemble de mesure nulle !

Borel a aussi essayé d'étu [...]

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  • : membre de l'Institut, professeur honoraire à la faculté des sciences de Paris.

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Pour citer l’article

Maurice FRÉCHET, « BOREL ÉMILE - (1871-1956) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 juillet 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/emile-borel/