CONNES ALAIN (1947- )

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Alain Connes, mathématicien français, a obtenu la médaille Fields en 1982 avec W. P. Thurston (États-Unis) et S. T. Yau (originaire de Chine, vivant aux États-Unis).

Alain Connes est né le 1er avril 1947 à Draguignan. Ancien élève à l'École normale supérieure, il a reçu, en 1980, le prix Ampère, l'un des plus importants décernés par l'Académie des sciences. Il a été élu membre de cette académie, dont il a été le benjamin, en 1981. Il a reçu le prix Clay en 2000, le prix Crafoord en 2001, la médaille d’or du C.N.R.S. en 2004. Alain Connes est professeur à l’Institut des hautes études scientifiques (I.H.E.S.), chaire Léon Motchane, depuis 1979 ; professeur au Collège de France, chaire d’analyse et géométrie, depuis 1984 ; et professeur à l’université de Vanderbit (États-Unis) ; depuis 2003.

Les premiers travaux d'Alain Connes s'inscrivent directement dans la tradition de John von Neumann et de ses continuateurs immédiats. Le développement de la mécanique quantique vers les années 1920 avait mis à l'ordre du jour l'étude d'espaces non plus à trois dimensions, comme celui où nous croyons vivre, ni à quatre, comme en relativité einsteinienne, mais à une infinité de dimensions (les espaces de Hilbert). L'un des outils essentiels de la mécanique quantique est la notion d'opérateur dans un tel espace, notion généralisant celle de rotation d'un espace euclidien. La théorie des algèbres d'opérateurs a débuté vers 1930 par les travaux de von Neumann, qui a montré l'importance d'un certain type d'algèbres d'opérateurs, appelées aujourd'hui algèbres de von Neumann, et qui a établi pour ces algèbres un théorème de « décomposition en facteurs premiers » — on dit simplement « facteurs » — assez analogue au théorème de décomposition bien connu pour les nombres entiers usuels. Dès l'origine, les facteurs avaient été classés en trois types : facteurs de type I, II, III. On a eu assez tôt une bonne compréhension des facteurs de type I et pas mal d'informations sur ceux de type II, mais les facteurs de type III sont restés pendant longtemps beaucoup plus mystérieux : même les exemples étaient rares et von Neumann disait, à propos de ce cas : « C'est le plus réfractaire de tous, et les outils pour l'étudier nous font défaut, au moins pour l'instant. » La première réussite de Connes, qui lui a d'emblée valu la renommée internationale, a été une percée spectaculaire vers l'élucidation de la structure des facteurs de type III ; on peut dire qu'il est le premier à avoir acquis une connaissance « concrète » de ces objets, jusque-là assez énigmatiques, pris dans leur ensemble. Très grosso modo, les résultats de Connes ramènent l'étude des facteurs de type III à celle des facteurs de type II et de leurs automorphismes.

Une seconde étape des travaux de Connes a consisté en l'interprétation géométrique des C*-algèbres à l'aide des feuilletages. Une C*-algèbre (ou, dans la terminologie de Bourbaki, une algèbre stellaire) est une algèbre (sur C) dotée d'une involution * telle que la fonction : ||u2||= rayon spectral de u*u = sup {λ|u*u—λ n'est pas inversible} soit une norme d'espace de Banach. Formellement, les algèbres de von Neumann, considérées abstraitement (indépendamment de leur représentation comme algèbres d'opérateurs), sont des cas particuliers de C*-algèbres, mais cette façon de les considérer donne une idée fausse du rapport réel entre les deux notions, car les C*-algèbres qu'on obtient ainsi sont, du point de vue de la théorie des C*-algèbres, des objets assez pathologiques. La description heuristique suivante est plus vague, mais plus adéquate : on peut dire que les C*-algèbres sont à la topologie ce que les algèbres de von Neumann sont à la théorie de la mesure. Ainsi, la donnée d'un espace compact X est équivalente à celle de la C*-algèbre C(X) des fonctions continues sur X à valeurs dans C, de même que la donnée d'un espace doté d'une classe de mesures est équivalente à celle de l'algèbre de von Neumann des classes de fonctions essentiellement bornées, modulo l'égalité presque partout (il s'agit, dans ce cas particulier, d'algèbres commutatives).

Les recherches mathématiques des années 1940 ont mis en évidence deux notions très importantes, d'apparence assez voisine, celle d'espaces fibrés et celle d'espaces feuilletés. Les premiers proviennent principalement de la géométrie différentielle et de la topologie, tandis que les seconds ont plutôt leur origine dans la théorie des équations différentielles. La terminologie est ici assez imagée, mais un peu trompeuse. La différence entre les deux notions ne réside pas, comme le suggérerait le langage courant, dans le fait que les fibres auraient une dimension et les feuilles deux. Au sens mathématique des termes, les feuilletages généralisent les fibrations, la généralisation consistant notamment en ce que les feuilles peuvent avoir un comportement beaucoup plus sauvage tel que s'enrouler indéfiniment, au point de passer arbitrairement près de tout point de l'espace, ou bien se rapprocher indéfiniment d'une autre feuille, comme une spirale se rapproche de son centre. La différence réside donc dans le degré d'organisation. L'ensemble des fibres, appelé base, d'une fibration est doté d'une structure simple et courante, disons, pour fixer les idées, d'une structure de variété. Ainsi, les génératrices d'un cylindre forment une fibration dont la base est un cercle. On peut aussi parler de l'ensemble des feuilles d'un feuilletage, mais personne, avant Alain Connes, n'avait songé à doter cet ensemble, totalement incohérent en apparence, d'une structure utilisable. Non seulement Connes est parvenu à définir cette « base d'un feuilletage », mais sa technique lui permet d'étendre à ces espaces d'un type nouveau nombre de notions et de résultats profonds de topologie et d'analyse sur les variétés. Son idée, d'une remarquable audace, consiste à associer à tout feuilletage une algèbre d'opérateurs et à observer que, dans le cas d'une fibration, beaucoup de propriétés géométriques et analytiques de la base peuvent s'exprimer en termes de l'algèbre en question.

Inversement, des propriétés algébriques classiques des algèbres de von Neumann ou des C*-algèbres peuvent s'interpréter comme des propriétés géométriques des feuilletages associés.

L'œuvre d'Alain Connes est celle d'un mathématicien très complet, capable de résoudre des problèmes difficiles, légués par le passé, mais aussi de transformer entièrement une discipline par l'introduction d'idées nouvelles, d'une grande originalité. À considérer les objets dont il s'occupe, on est frappé par l'ubiquité de ses talents : il joint à une intuition infaillible d'analyste – les propriétés des espaces de dimension infinie n'ont aucun secret pour lui – un don d'interprétation en dimension finie qui témoigne aussi d'une intuition géométrique remarquable.

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  • : membre de l'Institut, professeur au Collège de France

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  • Bernard PIRE
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Pour citer l’article

Jacques TITS, « CONNES ALAIN (1947- ) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/alain-connes/