NORMÉES ALGÈBRES

Les algèbres d'opérateurs dans les espaces de Banach

Reprenons l'exemple (2) du chapitre 1 : E étant un espace de Banach, l'ensemble L(E) des applications linéaires continues de E dans E est une algèbre normée unitaire, non commutative si E est de dimension supérieure à 1. L'étude de cette algèbre est l'un des buts de l' analyse fonctionnelle.

Il est possible, en particulier, de généraliser dans ce cadre le calcul fonctionnel holomorphe. Soit par exemple T un élément de L(E) ; on appellera spectre de T l'ensemble σ(T) des nombres complexes λ tels que T − λΙ_E, où I_E est l' opérateur identique, ne soit pas inversible : cela correspond à la notion de spectre d'un élément dans une algèbre normée commutative unitaire, défini comme ensemble des valeurs prises par la transformée de Gelfand ; si f est une fonction holomorphe d'une variable complexe, définie au voisinage de σ(T), on construit un autre élément L(E), noté f (T), de telle sorte que l'on ait :

on exige de plus f (T) = Tⁿ si f est la fonction qui à z associe zⁿ. À cela s'ajoutent certaines propriétés de continuité. Cette construction se fait en utilisant la formule intégrale de Cauchy (cf. fonctions analytiques Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 5) ; en fait, bien qu'elle ait été particulièrement étudiée pour les algèbres d'opérateurs que nous considérons ici, elle est possible dans le cas le plus général et correspond au calcul fonctionnel holomorphe auquel nous avons fait allusion dans le cas des algèbres normées commutatives unitaires (où l'hypothèse supplémentaire de semi-simplicité avait pour seul but de rendre l'exposé plus concret).

Les C*-algèbres

Parmi les algèbres normées, on distingue celles dont les propriétés particulières permettent une analyse spectrale plus poussée.

On appelle C*-algèbre une algèbre de Banach A vérifiant les deux propriétés suivantes :

(I) elle est munie d'une involution, c'est-à-dire d'une application a→a* de A dans A telle que l'on ait, quels que soient a et b dans A et λ complexe :

λ étant le nombre complexe conjugué de λ ;

(II) la norme et l'involution sont liées par la relation :

Donnons ici quelques exemples de C*-algèbres : (1) L'algèbre des fonctions continues sur un espace compact ;

(1′) l'algèbre des fonctions continues nulles à l'infini sur un espace localement compact (dans les deux cas l'involution est l' opérateur de conjugaison).

(2) L'algèbre L(H) des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert H (l'involution étant l'opérateur d'adjonction relatif au produit scalaire de H) ;

(2′) toute sous-algèbre fermée de L(H) stable par passage à l'adjoint ;

(2″) en particulier, l'algèbre LC(H) des opérateurs compacts de H, c'est-à-dire des opérateurs qui sont limite en norme d'opérateurs de rang fini.

(3) La C*-algèbre d'un groupe localement compact G : sur l'algèbre de convolution L¹(μ) (cf. ci-dessus l'exemple 3 du chapitre 1^er) on construit une involution en associant à la fonction intégrable f la fonction f * définie par : f *(t )=Δ(t^-1) f (t^-1), où Δ est la fonction modulaire du groupe ; on n'obtient pas ainsi une C*-algèbre (la propriété (II) de la définition n'est pas vérifiée), mais on montre qu'il existe sur L¹(μ) une unique norme vérifiant les propriétés (I) et (II), et l'algèbre de Banach[...]