NORMÉES ALGÈBRES

Les algèbres normées non commutatives

L'absence de la commutativité de la multiplication interne modifie énormément, en la compliquant notablement, la théorie des algèbres normées. Faute de pouvoir ne serait-ce que l'esquisser, nous nous bornerons à indiquer deux classes d'algèbres de ce type particulièrement importantes.

Les algèbres d'opérateurs dans les espaces de Banach

Reprenons l'exemple (2) du chapitre 1 : E étant un espace de Banach, l'ensemble L(E) des applications linéaires continues de E dans E est une algèbre normée unitaire, non commutative si E est de dimension supérieure à 1. L'étude de cette algèbre est l'un des buts de l'analyse fonctionnelle.

Il est possible, en particulier, de généraliser dans ce cadre le calcul fonctionnel holomorphe. Soit par exemple T un élément de L(E) ; on appellera spectre de T l'ensemble σ(T) des nombres complexes λ tels que T − λΙ_E, où I_E est l'opérateur identique, ne soit pas inversible : cela correspond à la notion de spectre d'un élément dans une algèbre normée commutative unitaire, défini comme ensemble des valeurs prises par la transformée de Gelfand ; si f est une fonction holomorphe d'une variable complexe, définie au voisinage de σ(T), on construit un autre élément L(E), noté f (T), de telle sorte que l'on ait :

on exige de plus f (T) = Tⁿ si f est la fonction qui à z associe zⁿ. À cela s'ajoutent certaines propriétés de continuité. Cette construction se fait en utilisant la formule intégrale de Cauchy (cf. fonctions analytiques Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 5) ; en fait, bien qu'elle ait été particulièrement étudiée pour les algèbres d'opérateurs que nous considérons ici, elle est possible dans le cas le plus général et correspond au calcul fonctionnel holomorphe auquel nous avons fait allusion dans le cas des algèbres normées commutatives unitaires (où l'hypothèse supplémentaire de semi-simplicité avait pour seul but de rendre l'exposé plus concret).

Les C*-algèbres

Parmi les algèbres normées, on distingue celles dont les propriétés particulières permettent une analyse spectrale plus poussée.

On [...]

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