NORMÉES ALGÈBRES

L'absence de la commutativité de la multiplication interne modifie énormément, en la compliquant notablement, la théorie des algèbres normées. Faute de pouvoir ne serait-ce que l'esquisser, nous nous bornerons à indiquer deux classes d'algèbres de ce type particulièrement importantes.

Reprenons l'exemple (2) du chapitre 1 : E étant un espace de Banach, l'ensemble L(E) des applications linéaires continues de E dans E est une algèbre normée unitaire, non commutative si E est de dimension supérieure à 1. L'étude de cette algèbre est l'un des buts de l'analyse fonctionnelle.

Il est possible, en particulier, de généraliser dans ce cadre le calcul fonctionnel holomorphe. Soit par exemple T un élément de L(E) ; on appellera spectre de T l'ensemble σ(T) des nombres complexes λ tels que T − λΙ_E, où I_E est l'opérateur identique, ne soit pas inversible : cela correspond à la notion de spectre d'un élément dans une algèbre normée commutative unitaire, défini comme ensemble des valeurs prises par la transformée de Gelfand ; si f est une fonction holomorphe d'une variable complexe, définie au voisinage de σ(T), on construit un autre élément L(E), noté f (T), de telle sorte que l'on ait :

Parmi les algèbres normées, on distingue celles dont les propriétés particulières permettent une analyse spectrale plus poussée.

On [...]