3. Théorie des modèles et mathématiques
• Théorie des modèles et algèbre traditionnelle
Il devrait être maintenant clair que les débuts de la théorie des modèles sont assez voisins de l'algèbre générale. Il n'est donc pas étonnant qu'il y ait eu de nombreuses applications de cette théorie à des problèmes purement algébriques. Il faut cependant dire que les premières applications « essentielles » de la théorie des modèles à l'algèbre datent de la fin des années cinquante. Jusque-là, les techniques logiques permettaient d'étudier les propriétés « locales » des structures algébriques, c'est-à-dire celles qui mettent en jeu les sous-structures de type fini, et surtout d'apporter un nouvel éclairage et d'intéressants compléments aux résultats classiques sur les corps algébriquement clos et aux travaux de E. Artin sur les corps réels fermés. L'expérience ainsi acquise fut certainement précieuse dans le premier des développements que l'on va évoquer.
– Travaux sur les corps p-adiques. Ces recherches donnèrent lieu à une démonstration du résultat suivant conjecturé par Artin : pour chaque entier positif d, il y a un nombre premier p(d) tel que, pour tout nombre premier p ≥ p(d), tout polynôme homogène sur le corps des nombres p-adiques Qp, de degré d et ayant au moins d2 + 1 variables, admet un zéro non trivial dans Qp. À vrai dire, la conjecture d'Artin dans sa forme initiale affirmait que le résultat précédent devait être vrai pour tous les nombres premiers p. On sait aujourd'hui que cette conjecture est fausse, ce qui accroît considérablement l'intérêt que présente le résultat précédent, dont la seule démonstration existante utilise les techniques de la théorie des modèles.
– Recherche d'invariants. Le logicien qui, pour simplifier, ne distingue pas entre deux réalisations élémentairement équivalentes est particulièrement heureux de trouver des invariants qui c […]
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