NOMBRES

Notion mathématique de nombre

La fondation de la théorie des ensembles par Georg Cantor à la fin du xix^e siècle a permis de donner d'un nombre une définition mathématique précise.

Dans le cadre d'un système axiomatique de la théorie des ensembles, en général celui de Zermelo et Fraenkel, les ensembles de nombres sont définis les uns à partir des autres, comme une construction abstraite, les nombres étant eux-mêmes des ensembles particuliers.

Deux remarques s'imposent toutefois. D'une part, plusieurs constructions sont possibles, donnant donc des nombres des définitions différentes, mais sans que cela ait des conséquences fâcheuses pour la plupart des raisonnements ultérieurs. D'autre part, certains mathématiciens n'admettent pas qu'un nombre puisse être un ensemble et considèrent que ces constructions ne définissent pas les nombres, mais en donnent des représentations ensemblistes ; pour ne pas en rester à la simple intuition du langage courant, ils proposent de considérer, comme on l'a fait pour celle d'ensemble, la notion de nombre comme une notion première, non définie mais dont les propriétés seraient encadrées par un système axiomatique. Mais cette position compliquerait les fondements de la mathématique en introduisant un système axiomatique supplémentaire puisque l'on ne se passerait pas pour autant d'une axiomatisation de la théorie des ensembles.

Plus précisément, un nombre au sens commun est un objet d'étude mathématique – et non un objet mathématique – qui est représenté par un nombre au sens mathématique, celui-ci étant un objet mathématique qui est un ensemble.

La construction la plus souvent adoptée part de l'ensemble vide (noté Ø), ensemble qui ne contient aucun élément et dont l'affirmation de l'existence est un axiome de la théorie des ensembles.

Selon la définition donnée par John von Neumann dans les années 1920, l'ensemble des nombres entiers naturels ℕ a pour éléments 0 = Ø, 1 = {Ø} = {0}, 2 = {Ø, {Ø}} = {0, 1},..., « successeur de n » = {0, 1, 2, ..., n}, etc., le successeur de n étant noté n + 1 dès que l'on a défini l'addition habituelle dans ℕ.

Soustraire b de a n'étant pas possible dans ℕ si b est supérieur à a, on construit l'ensemble des nombres entiers relatifs ℤ qui a pour éléments des ensembles de couples d'éléments de ℕ, de telle façon qu'une nouvelle soustraction y soit toujours possible.

Diviser p par q (q ≠ 0_ℤ, le « zéro » de ℤ) n'étant pas toujours possible dans ℤ, on construit l'ensemble des nombres rationnels ℚ, qui a pour éléments des ensembles de couples d'éléments de ℤ, de telle façon qu'une nouvelle division y soit toujours possible (sauf par 0_ℚ, le « zéro » de ℚ).

Une suite de Cauchy d'éléments de ℚ – c'est-à-dire une fonction f de ℕ dans ℚ telle que, quel que soit ε > 0_ℚ, il existe un M appartenant à ℕ tel que, quels que soient m et n supérieurs à M, la valeur absolue de f (m) – f (n) est inférieure à ε – n'ayant pas toujours une limite quand n tend vers + ∞ (plus l'infini), on construit l'ensemble des nombres réels ℝ, qui a pour éléments des ensembles de suites de Cauchy d'éléments de ℚ, de telle façon que toute suite de Cauchy d'éléments de ℝ ait une limite quand n tend vers + ∞.

Les nombres réels négatifs (inférieurs à 0_ℝ) n'ayant pas de racine carrée, on définit dans le produit cartésien ℝ×ℝ que l'on appelle alors ensemble des nombres complexes ℂ, une addition et une multiplication particulières, de telle façon que tout nombre complexe ait une racine carrée.

Indispensables dans de multiples activités humaines, les nombres sont l'objet de nombreuses recherches, qui[...]