Mesurer les objets concrets mathématisables fut l'un des premiers actes scientifiques conscients : il est d'usage de citer la redistribution, à des fins fiscales, des terres émergées après une crue du Nil, dans l'Égypte antique. Le premier niveau consiste à calculer des longueurs, d'abord d'intervalles de droites, puis de courbes comme le cercle. Le second a pour objet d'obtenir l'aire (mot savant pour surface) d'une partie d'un plan comme l'intérieur d'un polygone, ou un disque. Le troisième est une extension naturelle des deux premiers : il s'agit naturellement de trouver les volumes des solides simples, cube, pyramide et sphère.
Si, dans l'Antiquité, les longueurs de segments, les aires de rectangles, parallélogrammes et trapèzes, les volumes de parallélépipèdes ne posent aucun problème technique insurmontable, la détermination de l'aire d'un disque circulaire, du volume d'une sphère et, plus encore, de l'aire latérale de cette dernière, demandait à un Archimède d'inventer des techniques proches de notre calcul intégral. Il va de soi que, jusqu'au xixe siècle, une définition précise de l'un de ces trois mots était difficilement satisfaisante. Certes, le calcul intégral avait permis une première étude un peu rigoureuse des aires des figures classiques (suivant une présentation des intégrales comme étant les aires de certaines parties du plan délimitées par des courbes d'équation connue), mais cela restait insuffisant.
1. Définition de Peano
C'est en remarquant, dans un cours classique de son époque, que le concept d'aire était mal déterminé, que Giuseppe Peano fut conduit, en 1887, à en donner une définition assez précise.
Avant d'expliciter son travail, observons un cas très simple : celui d'une partie ouverte et bornée U d'une droite, à laquelle on cherche à attacher une longueur. Il se trouve qu'une telle partie est exactement la réunion disjointe d'intervalles ouverts ]an, bn[ indexée par des entiers 0, 1, 2, ..., n... Le cas fini est immédiat : la longueur ne peut être que la somme finie des différences bn […]
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