La notion d'espace métrique, introduite en 1906 par M. Fréchet et développée peu après par F. Hausdorff, est directement issue d'une analyse des principales propriétés de la distance usuelle. L'extension aux espaces métriques des propriétés de l'espace euclidien qui sont définissables à partir de la distance seule introduit un langage géométrique dans de nombreuses questions d'analyse et de théorie des nombres. C'est ainsi que l'on définit, à partir des boules, les ouverts. Par la manière naturelle dont s'introduisent les voisinages et les notions de limite et de continuité, l'étude des espaces métriques est une excellente introduction à la topologie générale.
1. Distances
L'analyse des principales propriétés de la distance entre deux points dans l'espace euclidien conduit à la définition axiomatique suivante. On appelle distance sur un ensemble E une application d de E × E dans l'ensemble R+ des nombres réels positifs ou nul telle que, quels que soient les éléments x, y et z de E, on ait :
Un ensemble E muni d'une distance s'appelle un espace métrique. Si (E, d) et (E′, d′) sont deux espaces métriques, une bijection f de E sur E′ sera dite une isométrie si elle conserve la distance, c'est-à-dire si d′(f(x), f (y)) = d(x, y) quels que soient x, y ∈ E ; deux espaces métriques sont dits isométriques s'il existe une telle isométrie de l'un sur l'autre et présentent alors, « par transport » au moyen de cette isométrie, des propriétés semblables.
• Exemples
On verra dans ce qui suit que la notion d'espace métrique recouvre un matériau mathématique très varié. Comme exemple extrême, remarquons que tout ensemble peut être muni de la distance, dite triviale, définie par d(
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