La notion d'espace métrique, introduite en 1906 par M. Fréchet et développée peu après par F. Hausdorff, est directement issue d'une analyse des principales propriétés de la distance usuelle. L'extension aux espaces métriques des propriétés de l'espace euclidien qui sont définissables à partir de la distance seule introduit un langage géométrique dans de nombreuses questions d'analyse et de théorie des nombres. C'est ainsi que l'on définit, à partir des boules, les ouverts. Par la manière naturelle dont s'introduisent les voisinages et les notions de limite et de continuité, l'étude des espaces métriques est une excellente introduction à la topologie générale.
L'analyse des principales propriétés de la distance entre deux points dans l'espace euclidien conduit à la définition axiomatique suivante. On appelle distance sur un ensemble E une application d de E × E dans l'ensemble R+ des nombres réels positifs ou nul telle que, quels que soient les éléments x, y et z de E, on ait :
Autres références
« MÉTRIQUES ESPACES » est également traité dans :
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COSMOLOGIE
Auteur :
Marc LACHIÈZE-REY
Dans le chapitre "Métrique" : …
*L'espace ordinaire est muni de trois dimensions x, y et z. Entre deux points séparés de dx en hauteur, dy en largeur et dz en profondeur, le carré de la distance s'écrit de manière simple :
Pour généraliser à quatre dimensions, il suffit de rajouter un quatrième terme similaire…
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FRÉCHET MAURICE (1878-1973)
Auteur :
Jean-Luc VERLEY
*Mathématicien français dont le nom reste attaché principalement à l'introduction des espaces métriques en analyse fonctionnelle. Né à Maligny, Fréchet entra à l'École normale supérieure en 1900. Il fut successivement professeur de mécanique à l'université de Poitiers (1910-1919), professeur d'analyse supérieure à l'université de Strasbourg (1920-…
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HAUSDORFF FELIX (1868-1942)
Auteur :
Jeanne PEIFFER
*La renommée du mathématicien allemand Felix Hausdorff repose surtout sur son ouvrage Grundzüge der Mengenlehre (1914), qui en fit le fondateur de la topologie et de la théorie des espaces métriques. Né à Breslau dans une famille de marchands aisés, Hausdorff fit ses études secondaires à Leipzig, puis étudia les mathématiques et l'…
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HUREWICZ WITOLD (1904-1956)
Auteur :
Jacques MEYER
*Mathématicien américain d'origine polonaise, né à Łódź (Pologne) et mort à Uxmal, au Mexique. Witold Hurewicz fit ses études supérieures à Vienne, où il passa son doctorat en 1926, puis à Amsterdam, où il resta jusqu'en 1936 ; il partit ensuite pour les États-Unis, et travailla à l'Institute for Advanced Study, à l'université de Caroline du Nord et…
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NORMÉS ESPACES VECTORIELS
Auteurs :
Robert ROLLAND, Jean-Luc VERLEY
Dans le chapitre "Espaces vectoriels normés, espaces de Banach : définitions et premières propriétés" : …
∥ ne dépend que de la classe de x (espace normé associé). Tout espace vectoriel E est un *espace métrique pour la distance : déduite de la norme. On peut donc appliquer aux espaces vectoriels normés le langage géométrique de l'analyse (boules, ouverts et fermés, convergence, etc.) introduit dans l'article espaces métriquesd…
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Bibliographie
N. Bourbaki « Utilisation des nombres réels », in Éléments de mathématiques, liv. 3 : Topologie générale, Masson, nouv. éd., 1982
G. Choquet, Cours de topologie : espaces topologiques et espaces métriques, fonctions numériques, espaces vectoriels topologiques, ibid., 2e éd. 1984
J. Dieudonné, Fondements de l'analyse moderne, Gauthier-Villars, Paris, 3e éd. 1979.
S. Shirali & H. L. Vasudeva, Metric Spaces, Springer, 2006.
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