Avec l'introduction des espaces qui portent son nom et l'étude fine des applications linéaires dans ces espaces, Banach est un des fondateurs de l'analyse fonctionnelle. Son œuvre illustre bien la force des théories mathématiques modernes : se gardant à égale distance d'une généralisation stérile et d'une spécialisation excessive, Banach a su construire une théorie très riche qui embrasse et regroupe presque tous les domaines de l'analyse connus de son temps.
1. Banach et l'école mathématique de Lwów
Né à Cracovie, Banach étudie les mathématiques à l'École polytechnique de Lwów en 1910, passe sa thèse de doctorat en 1922 et est nommé professeur à l'université de cette ville en 1927. C'est de 1916, alors qu'il était encore étudiant, que date son amitié avec le mathématicien H. Steinhaus ; leur étroite collaboration et leur activité mathématique allaient rassembler peu à peu à Lwów une pléiade de mathématiciens, parmi lesquels il faut surtout citer Mazur et Schauder. L'école de Lwów ainsi constituée, et l'école de Varsovie animée par Sierpinski, seront, jusqu'à la Seconde Guerre mondiale, les deux centres principaux de l'école polonaise de mathématiques. Créé par S. Banach et H. Steinhaus en 1929, le périodique Studia Mathematica allait faire connaître au public mathématique international l'intense activité de Banach et de ses disciples. Dans un texte qu'il consacre à son ami, Steinhaus décrit bien les rapports d'exceptionnelle cordialité qui régnaient entre Banach et ses élèves : « Entouré de collègues et de disciples, Banach ne rappelait en rien ce type de professeur pédant qui craint de perdre le nimbe de sa dignité. Il a créé un nouveau mode de travail scientifique : conversations et discussions à la table d'un café, menées sans austérité de la part du maître, sans crainte de blâme pour l'élève, et argumentées par les prémisses écrites au crayon sur le marbre de la table ou sur les serviettes en papier [...]. Banach a créé en quelque sorte une bourse d'idées et de prob […]
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