2. Définition générale d'une mesure sur un ensemble
Si satisfaisante qu'elle ait été, puisque par exemple elle permettait de donner une justification correcte à la formule de Newton et Leibniz pour calculer des longueurs de courbe, dont le cercle, la définition de Peano laissait pourtant de côté un trop grand nombre de parties du plan sans mesure. C'est à Camille Jordan que l'on doit, en 1893, la seconde étape décisive vers la théorie moderne, lorsqu'il étend le concept peanien à celui d'étendue, couvrant déjà un champ bien plus vaste. Mais les véritables créateurs de ce qui est aujourd'hui la mesure sont ses cadets : Émile Borel, vers 1898, et surtout Henri Lebesgue en 1901. Si les idées essentielles étaient déjà présentes dans la théorie des ensembles boréliens, c'est au second que l'on doit d'avoir, dans sa thèse, porté à un niveau de généralité et de rigueur impressionnant les notions de longueur, d'aire et de volume.
Vers 1930, Kolmogorov montra que la mesure lebesguienne était l'outil indispensable pour construire une bonne axiomatisation du calcul des probabilités qui, grâce à lui, devint une partie des mathématiques tout aussi solidement fondée que le reste de l'analyse.
Les définitions modernes de ce qu'est une mesure abstraite sont un peu difficiles à assimiler, notamment à cause des lourdeurs de vocabulaire qu'elles présentent inévitablement. Ici, nous ne partirons plus d'un objet plus ou moins géométrique à « mesurer », mais d'ensembles très généraux, les applications concrètes ne venant qu'assez loin après les débuts de la théorie, à tel point que les liens avec les idées intuitives se distinguent mal.
Pour construire la notion de mesure μ sur un ensemble E, il faut d'abord définir au sein de l'ensemble des parties de E ce que l'on appelle une tribu, ou une σ-algèbre. Il s'agit d'un ensemble T de parties de E possédant les trois propriétés suivantes : l'ensemble vide appartient à T ; le complémentaire d'un élément de T est élément de T ; toute réunion dénombrable d'éléments de T est un élément de T.
Une fois définie une tribu, une mesure est une application μ de T dans l'ensemble des réels positifs ou nuls telle que la somme des mesures d'une suite (An) d'éléments de T deux à deux disjoints (somme des termes d'une série convergente, soit la mesure de leur réunion).
Dans certains cas, on permet à une mesure de prendre des valeurs infinies. À l'inverse, les mesures de probabilités (abrégées en probabilités) sont les mesures qui vérifient l'égalité μ(E) = 1.
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