3. Invariance par forcing
Tous les fragments de l'univers des ensembles ne sont pas sensibles à l'action du forcing. Ainsi, les propriétés de (ℕ, +, ×), c'est-à-dire l'arithmétique des nombres entiers naturels, sont invariantes : si ϕ est un énoncé portant sur (ℕ, +, ×) vrai dans un modèle (M, E), alors ϕ reste vrai dans toute extension par forcing de (M, E). Cette invariance explique le caractère empiriquement complet du système ZFC pour cette arithmétique : même si le théorème d'incomplétude de Gödel implique l'existence d'énoncés d'arithmétique ni prouvables ni réfutables à partir de ZFC, ce phénomène n'introduit que peu de limitations, et c'est ce qui rend le cadre ZFC suffisant en pratique.
L'hypothèse du continu n'est pas un énoncé d'arithmétique, et elle est sensible à l'action du forcing. Le critère proposé par Woodin pour orienter la recherche d'axiomes nouveaux est de tenter de retrouver pour des fragments plus vastes de l'univers des ensembles la situation d'invariance par forcing et de complétude empirique fournie par ZFC pour l'arithmétique. On dira qu'un système tel que ZFC, ou ZFC complété de nouveaux axiomes A, est une solution pour un fragment H de l'univers des ensembles, si, dans tout modèle de ZFC+A, les propriétés de H sont invariantes par forcing.
Avec ces définitions, ZFC est donc une solution pour l'arithmétique des nombres entiers naturels. D'une façon générale, ZFC+A est une solution pour H si A neutralise l'action du forcing au niveau de H, ou encore gèle les propriétés de H par rapport à un forcing qu'on peut imaginer comme une sorte d'agitation thermique rendant floue notre perception des ensembles.
Supposons qu'un énoncé ϕ porte sur un fragment H, et que ni ϕ, ni ¬ϕ ne soit prouvable à partir de ZFC. Nous dirons que ϕ est essentiellement vrai s'il existe au moins une solution pour H, et si, en outre, toute solution pour H implique ϕ. Autrement dit, on déclare ϕ essentiellement vrai s'il existe au moins une façon de neutraliser le forcing au niveau de H (ce n'est pas évident) et si, quelle que soit la façon de le faire, on obtient toujours ϕ (et non tantôt ϕ, tantôt ¬ϕ). Le caractère essentiellement vrai d'un énoncé apparaît comme un argument à la fois fort et naturel en faveur de cet énoncé, et c'est en ces termes que Woodin aborde le problème du continu.
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