CONTINU HYPOTHÈSE DU
Invariance par forcing
Tous les fragments de l'univers des ensembles ne sont pas sensibles à l'action du forcing. Ainsi, les propriétés de (ℕ, +, ×), c'est-à-dire l'arithmétique des nombres entiers naturels, sont invariantes : si ϕ est un énoncé portant sur (ℕ, +, ×) vrai dans un modèle (M, E), alors ϕ reste vrai dans toute extension par forcing de (M, E). Cette invariance explique le caractère empiriquement complet du système ZFC pour cette arithmétique : même si le théorème d'incomplétude de Gödel implique l'existence d'énoncés d'arithmétique ni prouvables ni réfutables à partir de ZFC, ce phénomène n'introduit que peu de limitations, et c'est ce qui rend le cadre ZFC suffisant en pratique.
L'hypothèse du continu n'est pas un énoncé d'arithmétique, et elle est sensible à l'action du forcing. Le critère proposé par Woodin pour orienter la recherche d'axiomes nouveaux est de tenter de retrouver pour des fragments plus vastes de l'univers des ensembles la situation d'invariance par forcing et de complétude empirique fournie par ZFC pour l'arithmétique. On dira qu'un système tel que ZFC, ou ZFC complété de nouveaux axiomes A, est une solution pour un fragment H de l'univers des ensembles, si, dans tout modèle de ZFC+A, les propriétés de H sont invariantes par forcing.
Avec ces définitions, ZFC est donc une solution pour l'arithmétique des nombres entiers naturels. D'une façon générale, ZFC+A est une solution pour H si A neutralise l'action du forcing au niveau de H, ou encore gèle les propriétés de H par rapport à un forcing qu'on peut imaginer comme une sorte d'agitation thermique rendant floue notre perception des ensembles.
Supposons qu'un énoncé ϕ porte sur un fragment H, et que ni ϕ, ni ¬ϕ ne soit prouvable à partir de ZFC. Nous dirons que ϕ est essentiellement vrai s'il existe au moins une solution pour H, et si, en outre, toute solution pour H implique ϕ. Autrement dit, on déclare ϕ essentiellement vrai s'il existe au moins une façon de neutraliser le forcing au niveau de H (ce n'est pas évident) et si, quelle que soit la façon de le faire, on obtient toujours ϕ (et non tantôt ϕ, tantôt ¬ϕ). Le caractère essentiellement vrai d'un énoncé apparaît comme un argument à la fois fort et naturel en faveur de cet énoncé, et c'est en ces termes que Woodin aborde le problème du continu.
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Écrit par
- Patrick DEHORNOY : professeur à l'université de Caen et à l'Institut universitaire de France
Classification
Pour citer cet article
Patrick DEHORNOY. CONTINU HYPOTHÈSE DU [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Autres références
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CANTOR GEORG (1845-1918)
- Écrit par Hourya BENIS-SINACEUR
- 2 886 mots
- 1 média
...contraire à l’intuition qu’il sollicite l’avis de Dedekind : « Je le vois, mais je ne le crois pas », lui écrit-il. On ne pouvait imaginer en effet que la notion si fondamentale de dimension d’un espace continu (égale à 2 pour le carré, à 1 pour l’intervalle, à 3 pour un cube, etc.) n’intervienne pas dans... -
COHEN PAUL JOSEPH (1934-2007)
- Écrit par Gabriel SABBAGH
- 154 mots
Mathématicien et logicien américain, Paul Joseph Cohen est né le 2 avril 1934 à Long Branch (New Jersey) et mort le 23 mars 2007 à Stanford (Californie). En 1963, Cohen a découvert une nouvelle construction de modèles, appelée forcing, qui joue désormais un rôle fondamental dans la théorie des...
-
CONTINU & DISCRET
- Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
- 7 672 mots
...associé à l'objet de l'analyse réelle. On se contentera ici de mentionner le théorème de Lowenheim-Skolem et le résultat de Cohen au sujet de l'hypothèse du continu : ces travaux, parmi les plus célèbres du domaine en question, permettent de bien voir comment se pose le problème du continu dans le cadre de... -
GÖDEL KURT (1906-1978)
- Écrit par Daniel ANDLER
- 2 292 mots
...premier résultat de non-contradiction relative. Si la théorie des ensembles est cohérente, cette théorie enrichie de l'axiome du choix et de l'hypothèse généralisée du continu est cohérente. La notion d'univers constructible employée par Gödel dans ce travail est devenue l'un... - Afficher les 7 références
Voir aussi
- LOGIQUE MATHÉMATIQUE
- BAIRE THÉORÈME DE
- CHOIX AXIOME DU
- CARDINAL, mathématiques
- PREUVE, mathématiques
- ENSEMBLES THÉORIE AXIOMATIQUE DES
- WOODIN W. HUGH (1955- )
- WOODIN THÉORÈME DE
- OMÉGA-LOGIQUE
- OMÉGA-CONJECTURE
- ZFC AXIOMES DE
- ZFC MODÈLES DE
- ZERMELO-FRAENKEL AXIOMES DE
- COMPLÉTUDE, mathématiques
- ENTIER NATUREL
- FORCING, mathématiques
- INDÉCIDABLE, mathématiques
- NON-CONTRADICTION
