CONTINU HYPOTHÈSE DU

Thématique

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• 1. Mathématiques  » 
  2. Logique mathématique et fondements des mathématiques  » 
  3. Théorie des ensembles

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Autres références

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CANTOR GEORG (1845-1918)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Les étapes de la création cantorienne"  : …  En 1884, Cantor, épuisé nerveusement par ses tentatives infructueuses pour démontrer le « théorème *continu » (dont on sait, maintenant, qu'il est indémontrable dans le cadre de la théorie des ensembles) et par les attaques de ses détracteurs, est atteint d'une première crise nerveuse, point de départ d'une dramatique crise personnelle. Sur sa… Lire la suite

COHEN PAUL JOSEPH (1934-2007)

Écrit par :  Gabriel SABBAGH

… *Mathématicien et logicien américain, Paul Joseph Cohen est né le 2 avril 1934 à Long Branch (New Jersey) et mort le 23 mars 2007 à Stanford (Californie). En 1963, Cohen a découvert une nouvelle construction de modèles, appelée forcing, qui joue désormais un rôle fondamental dans la théorie des ensembles et dans la théorie des modèles ; et il a… Lire la suite

CONTINU & DISCRET

Écrit par :  Jean-Michel SALANSKIS

Dans le chapitre "Continu et théorie des fondements"  : …  de mentionner le théorème de Lowenheim-Skolem et le résultat de Cohen au sujet de l'hypothèse du *continu : ces travaux, parmi les plus célèbres du domaine en question, permettent de bien voir comment se pose le problème du continu dans le cadre de la théorie de l'infini, et comment l'opposition avec le discret n'est pas étrangère à ce problème.… Lire la suite

ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie axiomatique

Écrit par :  Jacques STERN

Dans le chapitre "Les cardinaux et l'axiome du choix"  : …  supérieur à ℵ (0). On note habituellement ℵα au lieu de ℵ (α). L'hypothèse du *continu est l'énoncé : Elle n'est ni réfutable ni démontrable dans ZFC, et on examinera plus loin les preuves qui permettent d'obtenir ce résultat d'indépendance. L'hypothèse généralisée du continu est l'énoncé : On peut développer une arithmétique… Lire la suite

GÖDEL KURT (1906-1978)

Écrit par :  Daniel ANDLER

Dans le chapitre "L'œuvre"  : …  . Si la théorie des ensembles est cohérente, cette théorie enrichie de l'axiome du choix et de *l'hypothèse généralisée du continu est cohérente. La notion d'univers constructible employée par Gödel dans ce travail est devenue l'un des principaux outils de la théorie des ensembles. À ces trois résultats fondamentaux s'ajoutent de… Lire la suite

HILBERT DAVID (1862-1943)

Écrit par :  Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL

Dans le chapitre "Problème 1 : hypothèse du continu"  : …  cette intuition, propose comme premier problème la démonstration de cette conjecture, dite *hypothèse du continu (HC), qui s'exprime donc par l'égalité 2^ℵ0 = ℵ1 (cf. théorie des ensembles - Théorie axiomatique des ensembles). Hilbert rattache aussitôt ce problème à une autre… Lire la suite

INFINI, mathématiques

Écrit par :  Jean Toussaint DESANTI

Dans le chapitre "La puissance d'un ensemble"  : …  suit immédiatement la puissance du dénombrable ? Cantor a répondu par l'affirmation (hypothèse du *continu) en raison des conséquences fort utiles qu'une telle hypothèse entraîne en analyse. On sait aussi qu'il espérait, sur ce point, une démonstration, qui, nous en sommes assurés aujourd'hui, ne pouvait être produite ; mais, pour notre propos, l'… Lire la suite

RÉELS NOMBRES

Écrit par :  Jean DHOMBRES

Dans le chapitre "Rôle des nombres réels"  : …  soit strictement contenu entre le dénombrable et le cardinal de R, appelé puissance du *continu. Cette question, qui tracassera Cantor toute sa vie a été résolue par P. J. Cohen en 1962 ; c'est un des résultats les plus brillants de la logique mathématique de l'après-guerre. Cohen a démontré que, sur la seule base de la théorie des… Lire la suite

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