2. Les « nombres idéaux »
C'est de 1837 qu'est daté le premier mémoire de Kummer sur le grand théorème de Fermat, concernant l'impossibilité de l'équation xm + ym = zm dans l'anneau Z des entiers dès que m est supérieur à 2. Kummer fut ainsi amené, comme plusieurs autres chercheurs contemporains, à s'intéresser aux anneaux cyclotomiques, ou, suivant son langage, « aux nombres complexes formés par des nombres entiers et des racines de l'unité », nombres complexes de la forme :
Des tentatives analogues à celle de Kummer avaient été faites en France ; Cauchy lui-même s'était attaqué, sans résultat, à ce problème. Joseph Liouville avait apporté à une preuve de Gabriel Lamé une critique analogue à celle que Dirichlet faisait à Kummer. Celui-ci lui écrivit de Breslau, le 28 avril 1847, en lui envoyant ses propres travaux de 1845, où la difficulté était enfin, partiellement, vaincue : « Quant à la proposition qu'un nombre complexe ne peut être décomposé en facteurs premiers que d'une seule manière, je puis vous assurer qu'elle n'a pas lieu généralement tant qu'il s'agit des nombres complexes de la forme :
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