3. Géométrie algébrique
Les recherches de W. R. Hamilton sur les systèmes de rayons optiques ont inspiré à Kummer des études sur les congruences de droites (familles de droites, à deux paramètres indépendants, dans l'espace euclidien de dimension trois). Elles donnent lieu, en 1860, à un mémoire où il introduit le concept et la mesure de la densité d'une congruence. Cette quantité, pour la congruence des normales à une surface, se ramène à la courbure de celle-ci. En 1866, il étudie les congruences algébriques de droites. Les surfaces focales des congruences d'ordre 2 le conduisent à la découverte de la surface qui porte son nom. La surface de Kummer est une quartique qui est sa propre duale. Elle a seize points doubles, et, par suite, seize plans tangents singuliers. Son groupe est isomorphe à celui de l'équation de Dirac en mécanique quantique.
Kummer a déterminé toutes les quartiques qui sont leurs propres duales, ainsi que toutes celles qui contiennent chacune une infinité de coniques. Parmi ces dernières, figure la « surface romaine » de J. Steiner, ainsi appelée parce que son inventeur l'a conçue lors d'un séjour à Rome, et dont Kummer, le premier, a construit un modèle.
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