Le mathématicien allemand Richard Dedekind est un des fondateurs de l'algèbre moderne. Sa théorie des idéaux, systématisation et rationalisation des « nombres idéaux » de Kummer, est en effet devenue l'outil essentiel pour étudier la divisibilité dans les anneaux les plus généraux et a donné une impulsion considérable à l'arithmétique en élargissant son champ d'action.
Dedekind est aussi le créateur de la géométrie algébrique sous sa forme actuelle : en collaboration avec H. Weber, il a transformé l'étude des courbes algébriques, jusqu'alors du domaine de la géométrie et de l'analyse, en une branche de l'algèbre, et mis en évidence l'importance géométrique de l'étude de l'anneau des fonctions régulières sur une telle courbe.
Mentionnons enfin le rôle actif qu'il joua dans l'axiomatisation des nombres réels et dans l'élaboration de la théorie des ensembles ; en liaison épistolaire presque quotidienne avec G. Cantor pendant des années, il eut le mérite, tout autant que ce dernier, de pressentir toute la fécondité des méthodes fondées sur le maniement de la théorie des ensembles.
Dedekind fut, à Göttingen, le dernier élève de Gauss, puis il suivit les cours de Dirichlet, qui devaient exercer sur lui une profonde influence.
1. Les « nombres idéaux »
Euler (1707-1783) le premier s'était enhardi à faire des raisonnements de divisibilité portant sur des nombres qui n'étaient plus des entiers usuels, mais, par exemple, des nombres complexes de la forme m + n √–0 3, (m et n entiers rationnels) ; ces nombres forment un anneau, et Euler admettait sans justification que les lois de l'arithmétique classique (existence de nombres premiers et factorisation unique en facteurs premiers) gardaient leur validité pour cet anneau. Un peu plus tard, Gauss montra que, pour l'anneau des « entiers de Gauss », m + n √–0 1, il en est bien ainsi ; mais ses successeurs s'aperçurent que, si ce résultat pouvait s'étendre à certains anneaux analogues (par exemple, celui des nombres m + n […]
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