6. La résolution algébrique des équations
Par cette expression, on entend traditionnellement la résolution des équations au moyen de radicaux carrés, cubiques, etc.
On a vu que sont résolubles par ce procédé les équations de degrés 2, 3 et 4. Après les succès de l'école italienne au xvie siècle, les mathématiciens se sont attachés à trouver des formules de résolution analogues pour les degrés suivants, singulièrement pour le cinquième. Parmi les recherches les plus remarquables en ce domaine, on peut citer celles de Tschirnhaus (1651-1708). Il s'efforce, en 1689, par un changement de variable, de ramener toute équation algébrique à une équation binôme. Plus précisément, soit P(x) = 0 une équation de degré n. Posons y = Q(x), Q étant un polynôme de degré n − 1 à coefficients indéterminés. On élimine x entre les deux équations P(x) = 0 et Q(x) − y = 0, et l'on détermine les coefficients du second polynôme de façon à faire disparaître, dans l'équation résultante en y, certains ou tous les termes intermédiaires. Si la méthode de Tschirnhaus réussissait toujours, toute équation serait algébriquement résoluble. Au xviiie siècle, Euler et Bezout ont étudié le même problème par des procédés analogues.
Un mémoire de Vandermonde, lu en novembre 1770, devait inaugurer une ère nouvelle. Kronecker n'a pas craint d'affirmer que l'essor moderne de l'algèbre commençait avec ce mémoire. Vandermonde y apparaît comme le précurseur et le premier ouvrier de la théorie des substitutions, distinguant, avant Gauss et Abel, les fonctions cycliques invariantes par une permutation circulaire déterminée et décomposant les fonctions symétriques en fonctions cycliques. Naturellement, il n'aboutit pas pour les degrés 5 et 6, mais il montre combien il serait prématuré de conclure à l'impossibilité de la résolution des équations générales de degré supérieur à 4. Puis il note que, si sa méthode échoue pour ces équations générales, elle réussit pour des équations particulières dont les racines sont liées par certaines relations et i […]
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