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ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

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4.  La théorie « générale » des équations

Grâce à l'école italienne, la théorie générale des équations algébriques se précise et ses problèmes principaux se dégagent. Sans suivre chronologiquement son développement historique, on peut s'efforcer d'en mettre en évidence les points importants. L'équation étant mise sous la forme P(x) = 0, l'importance du degré du polynôme P, ou degré de l'équation, apparaît d'abord ; en effet, l'équation n'a pas en général une seule racine, comme le voulaient les anciens algébristes, mais peut en avoir jusqu'à n, si n est son degré.

Si a est une racine, alors P(x) est divisible par x − a et l'on peut écrire :

Q étant un polynôme de degré n − 1.

Si l'équation admet exactement n racines, il est possible d'exprimer les coefficients du polynôme P(x) par des fonctions symétriques rationnelles entières des racines.

Exemple du second degré :

de racines a et b ; alors :

Exemple du troisième degré :

de racines a, b, c ;

Exemple du cinquième degré :

de racines a, b, c, d, e ;

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ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)

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CARDAN JÉRÔME (1501-1576)

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CHINOISE (CIVILISATION) - Sciences et techniques

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CORPS, mathématiques

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GROUPES DE GALOIS

Écrit par :  Bernard PIRE

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INDE (Arts et culture) - Les sciences

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ISLAM (La civilisation islamique) - Les mathématiques et les autres sciences

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Dans le chapitre "Les mathématiques"  : …  bx. Le but d'al-Khwārizmī est clair, jamais conçu auparavant : élaborer une théorie des *équations résolubles par radicaux, auxquelles peuvent être ramenés indifféremment les problèmes arithmétiques et géométriques, et ainsi pouvoir s'en servir dans le calcul, les échanges commerciaux, les successions, l'arpentage des terres, etc. Dans… Lire la suite
LAGRANGE JOSEPH LOUIS (1736-1813)

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Dans le chapitre "La résolution algébrique des équations"  : …  ce qu'il appelle la « métaphysique », et qu'on appellerait la structure, de la résolution des *équations par radicaux. À partir d'une étude du troisième et du quatrième degré, il est en mesure d'expliquer les raisons des succès obtenus dans ces deux cas et les échecs rencontrés dans le cas général. Indiquons les principales étapes de son… Lire la suite
NOMBRES COMPLEXES

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Le théorème fondamental de l'algèbre"  : …  Les nombres complexes sont donc apparus très tôt comme le domaine naturel de la théorie des *équations algébriques : toute équation algébrique peut être résolue dans ce corps. Plus précisément, le résultat fondamental est le suivant. Si P est un polynôme de degré n à coefficients complexes, il existe n nombres complexes … Lire la suite
RECHERCHES ARITHMÉTIQUES (C. F. Gauss)

Écrit par :  Bernard PIRE

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Écrit par :  Universalis

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TARTAGLIA NICCOLO FONTANA dit (1499-1557)

Écrit par :  Universalis

… *Mathématicien italien auquel on doit une méthode de résolution de l'équation du troisième degré et un des premiers traités de balistique. Niccolo Fontana est né à Brescia. Lors du sac de cette ville par les Français (1512), il eut la mâchoire fendue par un sabre ; il en résulta une difficulté de parole qui lui valut le surnom de Tartaglia (bègue).… Lire la suite
VIÈTE FRANÇOIS (1540-1603)

Écrit par :  Jean GRISARD

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WALLIS JOHN (1616-1703)

Écrit par :  Universalis

… *Mathématicien anglais né le 23 novembre 1616 à Ashford (Kent) et mort le 28 octobre 1703 à Oxford, Wallis est un des plus illustres précurseurs d'Isaac Newton. En 1632, il entre au collège Emmanuel de Cambridge, où il se distingue dans de nombreux domaines. Environ huit ans plus tard, il obtient une bourse au Queens' College, Cambridge. Il est… Lire la suite
WARING EDWARD (1736-1798)

Écrit par :  Bernard PIRE

…  exerce dans divers hôpitaux de Londres de 1767 à 1770, avant d'abandonner totalement la médecine. *Son œuvre mathématique principale, les Meditationes algebraicae, fut publiée en 1770, puis en 1782 avec de multiples additions. Parmi les résultats qui y sont rassemblés, on peut noter la preuve que toutes les fonctions rationnelles… Lire la suite

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