3. Équations de degré 3 et 4
• Les équations cubiques
Quelques exemples d'équations cubiques apparaissent chez les Babyloniens, mais sans rien de systématique. Archimède discute (De la sphère et du cylindre, livre second) les problèmes qui, pour nous, conduisent à l'équation cubique générale. Mais sa démarche est purement géométrique et ne peut pas se traduire en algèbre. Le xve siècle connaît quelques tentatives malheureuses de résolution algébrique. Il était réservé à l'école italienne du xvie siècle d'apporter la solution définitive. Les trois pionniers sont successivement Scipione del Ferro, Tartaglia et Cardan.
L'équation générale se ramène à des formes telles que x3 + px + q = 0. (Les algébristes n'écrivant que des coefficients numériques et positifs, trois cas sont à distinguer : x3 = x + 1, x3 + x = 1 et x3 + 1 = x.)
La solution trouvée se résume pour nous dans la formule :
Elle est obtenue en posant x = u + v, puis u3 + v3 = − q, uv = p/3, d'où u3 + v3 = − q, u3v3 = − p3/27 ; u3 et v3 sont donc racines d'une équation quadratique.
Cardan comprend aussitôt les difficultés soulevées par cette solution. Lorsque q2/4 + p3/27 est négatif, les nombres u et v ne peuvent pas être calculés dans R, donc n'existent pas. Or, Archimède a montré que, dans ce cas, l'équation cubique proposée a des racines, et Cardan, en acceptant les racines négatives, sait en outre qu'elle en a trois. Pour lever la difficulté, il introduit timidement, et Bombelli le fera plus nettement en 1572, de nouveaux nombres dits « impossibles » ou « imaginaires ». Ainsi apparaît, pour la première fois, le corps C des nombres complexes (cf. nombres complexes).
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