ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Premier exemple

Sur une tablette de l'ancien âge babylonien (YBC 4663), on demande de trouver un rectangle, connaissant son demi-périmètre, 6⁰ 30′, et son aire, 7⁰ 30′.

Il s'agit donc de résoudre le système :

Voici la méthode proposée par le scribe (numération à base 60) : prendre la moitié de la longueur et de la largeur :

Second exemple

Problème 7 de la tablette BM 13901, remontant à l'ancien âge babylonien, 1800 environ avant notre ère : « J'ai additionné sept fois le côté de mon carré et onze fois la surface : 6⁰ 15′. » Soit 11 x² + 7 x = 6⁰ 15′.

Solution : « Tu inscriras 7 et 11. Tu porteras 11 à 6⁰ 15′ : 1̀ 8⁰45′. Tu fractionneras en deux 7 : 3⁰ 30′. Tu croiseras 3⁰ 30′ et 3⁰ 30′ : 12⁰15′. À 1̀ 8⁰45′ tu ajouteras 1̀ 21⁰, qui est le carré de 9. Tu soustrairas 3⁰ 30′, que tu as croisé, de 9 : tu inscriras 5⁰ 30′. L'inverse de 11 ne peut être dénoué. Que dois-je poser à 11 qui me donne 5⁰ 30′ : 30′, son quotient. Le côté du carré est 30′. »

À savoir : l'équation à résoudre est ax² + bx = c. On calcule b²/4, puis b²/4 + ac, dont la racine est √(b²/4 + ac). On forme √(b²/4 + ac) − b/2. Le coefficient  a  n'ayant  pas  d'inverse  dans l'anneau des nombres exprimables en base 60, on divise par a, par tâtonnements, √(b²/4 + ac) − b/2. Le quotient est le côté cherché. La numération est sexagésimale : 1̀ + 60⁰, et 1′ = (1/60). 1⁰.

D'autres exemples, fort nombreux, montrent que le calculateur babylonien sait résoudre toutes les équations quadratiques. Il y a pourtant un obstacle : ce calculateur ne s'exprime pas dans R, corps des réels, mais dans un sous-anneau, celui des nombres exprimables d'une façon finie, en base 60. Pour que ax² + bx + c = 0 ait des racines, il ne suffit donc pas que b² − 4 ac ≥ 0, mais il faut encore que cette quantité soit le carré d'un élément de l'anneau et que, de plus, la division finale par a soit possible dans l'anneau.

Les Grecs font, de la résolution des équations du second degré, la base même de toute leur géométrie. Mais, pour pouvoir travailler dans R, ils remplacent les calculs babyloniens par des constructions à la règle et au compas. Pour qu'une équation quadratique ait alors des racines, il suffira que b² − 4 ac ≥ 0.

Le fait de construire les solutions des problèmes à partir des segments donnés, à la règle et au compas, conduit les géomètres grecs à l'étude des binômes, segments dont les mesures sont de la forme √ a + √ b, a et b rationnels. Cette étude savante n'aboutit guère à des conclusions définitives. Elle occupe cependant une grande partie des Éléments d'Euclide et joue un rôle important dans le développement de la théorie des équations. Cependant les algébristes grecs calculent dans Q, plus précisément dans Q⁺. Pour eux, une condition supplémentaire s'impose : b² − 4 ac doit être le carré d'un rationnel. Toute l'algèbre diophantienne trouve là son origine. Elle est tenue à manipuler des équations indéterminées où certaines expressions doivent être des carrés parfaits dans Q. L'extraordinaire habileté de Diophante en ce domaine sera un très puissant stimulant pour les mathématiques des xvi^e et xvii^e siècles.

Les Arabes et leurs disciples occidentaux jusqu'au xvi^e siècle n'apportent[...]