5. Résolution numérique
Pour une équation P(x) = 0, les questions suivantes se sont posées naturellement : Combien a-t-elle de racines réelles ? Combien d'imaginaires ? Combien de positives, de négatives ? Quelles sont les valeurs approchées, au 1/10, au 1/100, au 1/1000 près, etc. de ces diverses racines ?
Descartes, dans sa Géométrie de 1637, déclare, sans preuves, que l'équation P(x) = 0 peut avoir autant de racines réelles positives qu'il y a de changements de signe dans les monômes du premier membre ordonné, et autant de négatives qu'il y a de permanences.
Ainsi x4 + x3 − x2 + x + 1 = 0 peut avoir deux racines positives et deux racines négatives. En fait, cette équation n'a aucune racine positive et deux racines négatives, les deux autres étant imaginaires conjuguées. On énonce aujourd'hui le théorème de Descartes comme il suit : Dans une équation quelconque, à coefficients réels, le nombre des racines positives ne surpasse pas le nombre des variations de signe du premier membre ; et, quand il est moindre, la différence est toujours un nombre pair.
En 1690, Rolle (1652-1719) énonce dans son Algèbre une proposition que l'on peut exprimer ainsi : Soit P(x) = 0, formons l'équation P′(x) = 0, P′ étant le polynôme dérivé du polynôme P. Entre deux racines de la première équation, il existe au moins une racine de la seconde.
Le théorème de Budan (1811) se rattache au même ordre d'idées : « Étant donné une équation P(x) = 0 de degré m, si dans les (m + 1) fonctions P(x), P′ (x), P″(x), ..., P(m)(x) où chacune est la dérivée de la précédente, on substitue à x deux nombres α et β (α < β), et, si après chaque substitution on compte les variations de signe que présente la suite des résultats, le nombre des racines de P(x) = 0 comprises entre α et β ne surpasse jamais celui des variations perdues de α à β, et, quand il est moindre, la différence est toujours un nombre pair. »
Le théorème de Sturm (1829) est le résultat le plus précis qui ait été obtenu dans ce domaine. Soit P(x) = 0 l'équation proposée. On di […]
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