Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, donc une formule de la forme A = B, où les deux membres A et B de l'équation sont des expressions où figurent une ou plusieurs variables, représentées par des lettres. Par extension, une équation conduit à un problème, qui consiste à poser la question : à quelles conditions ces deux expressions sont-elles égales ? Résoudre une équation revient à déterminer ses solutions, qui sont les valeurs des variables (inconnues a priori, d'où le nom d'inconnues donné aux variables) pour lesquelles l'équation est satisfaite lorsqu'on substitue ces valeurs aux variables.
En d'autres termes, une équation est une égalité f(x) = g(x), où on a pris pour f et g deux fonctions ayant mêmes ensembles de départ et d'arrivée. Une équation peut n'avoir aucune solution, une seule solution, plusieurs, ou une infinité. Une équation qui est vérifiée quelles que soient les valeurs des variables est une identité. La conjonction de plusieurs équations qui doivent être vérifiées simultanément est un système d'équations.
1. Équations algébriques
Ce sont les équations dont chaque terme est un polynôme, c'est-à-dire une expression obtenue en additionnant et en multipliant entre eux des nombres et des variables (en revanche, si les termes comportent des fonctions transcendantes, on dit que l'équation est transcendante). La nature du problème de la résolution d'une équation algébrique dépend de l'ensemble où l'on cherche les solutions : nombres entiers, nombres rationnels, nombres réels ou complexes, fonctions, etc.
Les équations algébriques les plus simples sont les équations linéaires à une variable ax = b, où a et b sont des nombres donnés ; elles ont été introduites et étudiées depuis la haute antiquité. Les systèmes de deux équations linéaires à deux variables x et y : x + y = a, x – y = b, sont tout aussi anciens. L'étude des systèmes d'équations linéaires est le domaine de l'algèbre linéaire.
Les équations polynomiales sont les équations algébriques à une variable, de la forme f(x) = 0, où f(x) = axn + bxn […]
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