2. Équations différentielles
Les équations différentielles sont des équations dont les coefficients et les variables sont eux-mêmes des fonctions, et dont les termes contiennent les dérivées de cette fonction ainsi que la fonction elle-même. Les équations différentielles ordinaires impliquent une fonction y d'une seule variable x et ses dérivées y', y'', etc. ; l'ordre d'une telle équation est l'ordre de la plus haute dérivée qu'elle contient. Un théorème de Cauchy donne des critères d'existence et d'unicité pour les solutions d'une telle équation. Une équation différentielle est linéaire si elle dépend linéairement des dérivées ; par exemple, une équation différentielle linéaire du second ordre est de la forme a(x)y''(x) + b(x)y'(x) + c(x)y(x) = f(x) ; elle est homogène si f(x) = 0. Lorsque les coefficients sont constants, ces équations sont résolues par des méthodes d'algèbre linéaire.
Dans une équation aux dérivées partielles, les inconnues sont des fonctions de plusieurs variables, et l'équation comprend la fonction f et ses dérivées partielles ∂f /∂x, etc. Le Laplacien Δf d'une fonction est la somme de ses dérivées partielles secondes. Pour une fonction f de deux variables x et y, où (x, y) varie dans une partie du plan, on a Δf = ∂ 2f /∂x2+∂2f /∂y2, et l'équation de Laplace est Δf = 0. Pour une fonction f de trois variables t, x et y, où la variable t représente le temps, l'équation des ondes est ∂2f /∂t2 = Δf et l'équation de la chaleur est ∂f /∂t = Δf. L'équation de Schrödinger de la mécanique quantique s'écrit, pour une fonction f de deux variables x et y indépendante du temps, Δf + Vf = λf, où V est un potentiel et où le nombre λ correspond à un niveau d'énergie.
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