Plus peut-être que tout autre domaine des mathématiques, les équations aux dérivés partielles étaient prédisposées à bénéficier de l'utilisation des ordinateurs, pour de nombreuses raisons. La plus importante est leur intervention dans de nombreux problèmes techniques. C'est d'ailleurs un problème d'hydrodynamique, dont la solution devait « améliorer » les premières bombes atomiques, qui a fait l'objet de la première application traitée sur ordinateur.
Une deuxième raison est la complexité des problèmes aux dérivées partielles. Pour s'en faire une idée, réfléchissons à ce que représente la résolution numérique d'un problème aux limites. Très schématiquement, on sera amené à résoudre un système de N équations à N inconnues, où N est de l'ordre de grandeur de (1/h)n ; ici, h est le pas de discrétisation (dont dépendra la précision de la solution) et n le nombre de variables indépendantes. C'est dire que, même avec une approximation très grossière pour un problème simple, N se comptera en centaines pour deux variables et en milliers pour trois variables indépendantes. On n'oubliera pas, pour estimer ces ordres de grandeur, que le volume des calculs croît plus vite que N.
Une troisième raison vient donner toute son importance à la deuxième ; c'est dans cette théorie que, plus encore que dans beaucoup d'autres branches des mathématiques, les situations où on dispose de solutions explicites sont rares. Il en est de même des solutions semi-explicites sous forme de séries.
L'analyse numérique des équations aux dérivées partielles n'est pas née avec les ordinateurs, tant s'en faut ; la situation est plus complexe. De toute façon, l'introduction de l'analyse numérique comme branche particulière des mathématiques est un fait relativement récent, qui exprime son extrême spécialisation.
Un des premiers travaux mathématiques sur les équations aux dérivées partielles – le mémoire de Daniel Bernoulli publié en 1753 – contient deux procédés d'approximation de la solution. L'un est celui des séries trigonométriques ; l'autre consiste à remplace […]
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