Plus peut-être que tout autre domaine des mathématiques, les équations aux dérivés partielles étaient prédisposées à bénéficier de l'utilisation des ordinateurs, pour de nombreuses raisons. La plus importante est leur intervention dans de nombreux problèmes techniques. C'est d'ailleurs un problème d'hydrodynamique, dont la solution devait « améliorer » les premières bombes atomiques, qui a fait l'objet de la première application traitée sur ordinateur.
Une deuxième raison est la complexité des problèmes aux dérivées partielles. Pour s'en faire une idée, réfléchissons à ce que représente la résolution numérique d'un problème aux limites. Très schématiquement, on sera amené à résoudre un système de N équations à N inconnues, où N est de l'ordre de grandeur de (1/h)n ; ici, h est le pas de discrétisation (dont dépendra la précision de la solution) et n le nombre de variables indépendantes. C'est dire que, même avec une approximation très grossière pour un problème simple, N se comptera en centaines pour deux variables et en milliers pour trois variables indépendantes. On n'oubliera pas, pour estimer ces ordres de grandeur, que le […]
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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX)
Auteurs :
Claude BARDOS, Martin ZERNER
Les équationsaux dérivées partielles sont sans doute le domaine des mathématiques où le lien avec la physique est le plus étroit. Il ne s'agit pas seulement du fait que les recherches les plus actives, et en général les plus importantes, ont été motivées par des questions de physique. Il s'agit aussi, et surtout, du fait que les idées ap…
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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires
Auteur :
Claude BARDOS
L'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires se trouve à l'interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique ou des sciences de l'ingénieur sont non linéaires et une modélisation par des équations linéaires risque, dans certains cas, d'effacer des événements que les é…
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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications
Auteur :
Martin ZERNER
On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques. Alors que les solutions des équations différentielles ordinaires dépendent d'une ou de plusieurs constantes arbitraires, celles…
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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire
Auteur :
Martin ZERNER
Il existe une théorie mathématique assez bien constituée des équations aux dérivées partielles linéaires, dont nous allons essayer de donner une idée. En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de méthodes dont peu sont générales. Sans que nous le précisions à chaque fois, certains des résultats que nous a…
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ANALYSE MATHÉMATIQUE
Auteur :
Jean DIEUDONNÉ
Dans le chapitre "Équations différentielles et équations aux dérivées partielles" : …
développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équations aux *dérivées partielles, qui apparaissent aussi par ailleurs dans les problèmes de la naissante théorie des surfaces. Dans l'étude de ces équations, le xixe siècle se marque encore par un changement de point de vue assez net : au …
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Bibliographie
S. C. Brenner & L. R. Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods, 2e éd., Springer, 2002
A. Ern & J. Guermond, Theory and Practice of Finite Elements, Springer, 2004
D. Euvrard, Résolution numérique des équations aux dérivées partielles : différences finies, éléments finis, méthode des singularités, Masson, 2e éd. 1990
G. Strang & G. J. Fix, An Analysis of the Finite Element Method, Wellesley-Cambridge Press, Wellesley (Mass.), 1973
O. C. Zienkiewicz, La Méthode des éléments finis, McGraw-Hill, Paris, 1979.
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