GÖDEL KURT (1906-1978)

Articles

• GÖDEL KURT (1906-1978)

  • Écrit par Daniel ANDLER
  • 2 292 mots

  Issue de la pensée de Boole, de Cantor et de Frege au cours de la seconde moitié du xix^e siècle, la logique mathématique connaît ses premiers développements grâce à Hilbert et à Russell et Whitehead (premier quart du xx^e siècle). Mais c'est à Kurt Gödel plus qu'à tout autre qu'elle doit...

• GÖDEL : THÉORÈMES D'INCOMPLÉTUDE

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 174 mots

  Deux ans après avoir soutenu sa thèse de doctorat à l'université de Vienne, le jeune mathématicien autrichien Kurt Gödel (1906-1978) prouve que, dans tout système mathématiqueaxiomatique, il existe des propositions dont on ne peut démontrer ni la véracité ni la fausseté. En particulier,...

• CANTOR GEORG (1845-1918)

  • Écrit par Hourya BENIS-SINACEUR
  • 2 886 mots
  • 1 média
  ...et le continu, mais une infinité, exactement comme il y a une infinité de nombres finis. Signalons au passage que le procédé diagonal sera utilisé par Kurt Gödel (1906-1978) pour démontrer, en 1931, l’incomplétude de l’arithmétique élémentaire et deviendra un outil caractéristique des mathématiques du...

• CONTINU HYPOTHÈSE DU

  • Écrit par Patrick DEHORNOY
  • 2 220 mots
  Théorème de Gödel (1938) : Si ZFC est non contradictoire, alors ¬HC n'est pas prouvable à partir de ZFC.

• DÉMONSTRATION THÉORIE DE LA

  • Écrit par Jean-Yves GIRARD
  • 6 140 mots
  • 1 média
  ...Bourbaki : on sait bien que les idéologies simplistes ont un pouvoir d'attraction qui persiste même après leur échec patent ; la réfutation de Hilbert par Gödel ne nous propose en aucune manière une vision de même nature : Gödel a détruit l'espoir de donner une réponse claire et nette à certaines interrogations...

• FINITISME ET ULTRAFINITISME, mathématique

  • Écrit par Jacques-Paul DUBUCS
  • 1 492 mots
  ...„épistémiquement stable“ : tout énoncé finitiste vrai (respectivement faux) devrait pouvoir être prouvé (respectivement réfuté) par des méthodes finitistes. Les résultats d'incomplétude obtenus par Kurt Gödel (1906-1978) en 1931 ont précisément montré que ce n'était pas le cas. En particulier, l'arithmétique...

• FORMALISME

  • Écrit par Étienne BALIBAR, Pierre MACHEREY
  • 5 001 mots
  • 1 média
  ...mathématique possède comme toute discipline scientifique, figurent les théorèmes dits de « limitation » des systèmes formels. Le plus célèbre est le théorème de Gödel (1931) énonçant l' incomplétude de l'arithmétique formalisée, c'est-à-dire la possibilité de construire une interprétation du système formel dans...

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL
  • 14 726 mots
  • 1 média
  ...si les moyens de démontrer la non-contradiction sont plus faibles (c'est-à-dire plus pauvres en hypothèses) que ceux du système axiomatique. Comme K.  Gödel a démontré, en 1931, que cette exigence n'est pas remplie dans le cas de l'arithmétique et de ses extensions, le programme de Hilbert s'est révélé...

• MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

  • Écrit par Jean Toussaint DESANTI
  • 10 434 mots
  • 1 média
  Cette situation est aujourd'hui dénouée. D'une part, en 1938, Kurt Gödel a démontré que, si la théorie des ensembles est cohérente sans l'axiome du choix ni l'hypothèse du continu, elle le demeure lorsqu'on adjoint ces deux énoncés au nombre de ses thèses initiales. De plus, en 1963,...

• MODALITÉS, logique

  • Écrit par Pascal ENGEL
  • 7 573 mots
  • 1 média
  ...est ainsi toujours relative aux règles et axiomes du système dans lequel cette proposition peut être assertée. Mais, selon cette analyse suggérée par Gödel dans les années 1930, on ne peut, en raison de la non-démontrabilité de la non-contradiction de l'arithmétique élémentaire, asserter la loi modale...

• QUASI-EMPIRISME, mathématique

  • Écrit par Jean-Paul DELAHAYE
  • 1 237 mots
  ...façon qu'il découvrit que le nombre de nombres premiers inférieurs à n est approximativement n/log(n), affirmation qui ne fut prouvée que bien plus tard. Kurt Gödel (1906-1978), cohérent avec ses positions réalistes, remarquait que « si les mathématiques décrivent un monde objectif, comme le fait la physique,...

• RÉALISME, mathématique

  • Écrit par Hourya BENIS-SINACEUR
  • 2 167 mots
  ...mathématique, même quand elle porte sur des entités ou procédures infinies, est ou vraie ou fausse, de toute éternité et indépendamment de toute preuve. Ainsi, pour Kurt Gödel (1906-1978), l'hypothèse du continu de Cantor (selon laquelle la puissance du continu est la plus petite des puissances ou...

• RÉCURSIVITÉ, logique mathématique

  • Écrit par Kenneth Mc ALOON, Bernard JAULIN, Jean-Pierre RESSAYRE
  • 8 914 mots
  ... est clos pour des procédés arithmétiques de définition très vastes, notamment la substitution, la récurrence et la minisation. Indiquons ces opérations qui nous conduiront à la définition arithmétique des fonctions récursives introduite simultanément par K. Gödel et J.  Herbrand en 1931.