SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

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Quoique certaines sommes de séries trigonométriques aient déjà été calculées par L. Euler (cf. analyse harmonique), on peut considérer que l'histoire des séries trigonométriques remonte à la solution, donnée par D. Bernoulli, du problème des cordes vibrantes. Le problème est de calculer le mouvement d'une corde, de longueur l, fixée en ses extrémités, et qui est soit écartée de sa position d'équilibre et lâchée (corde de guitare), soit frappée de façon à lui imprimer, en ses différents points, des vitesses de déplacement latéral (corde de piano).

Mouvement d'une corde

Dessin : Mouvement d'une corde

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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L'équation des cordes vibrantes, qui concerne le déplacement latéral y(x, ) (supposé petit) au temps t du point x de la corde, est :

les conditions initiales imposent :
et respectivement :
pour la corde pincée, et :
pour la corde frappée. D'Alembert et Euler avaient découvert la solution générale, sous la forme :
f est une fonction périodique et de période 2 l qui, dans le premier cas, est impaire et égale à ϕ/2 sur [0, l] et, dans le second cas, est paire et primitive de ψ/2 ω sur [0, l]. Pour des raisons physiques évidentes, D. Bernoulli pensait pouvoir écrire la solution sous la forme d'une série d'harmoniques solutions de l'équation des cordes vibrantes, c'est-à-dire :
dans le premier cas et, dans le second cas,

Mais cela supposait, par exemple dans le premier cas, que l'on puisse écrire ϕ(x) sous la forme :

Comment une fonction ϕ (x) arbitraire pourrait-elle se résoudre en une somme de fonctions sinus d'arcs multiples ? Les meilleurs mathématiciens de l'époque (1750) ne le croyaient pas possible.

La question ne fut reprise que cinquante ans plus tard, par Fourier, à l'occasion de la théorie analytique de la chaleur (1822). L'équation en cause est ici :

y est la température au temps t et au point x d'une barre maintenue à température fixe (par exemple 0) aux extrémités, et une solution formelle en est :
sorte que :

De nouveau, on est amené à tenter d'écrire une fonction donnée sous forme d'une série trigonométrique. Fourier donne une série d'exemples, fondés sur des formules du type (8). Il conclut, un peu rapidement, que les séries trigonométriques obtenues sont convergentes, qu'elles ont bien pour somme les fonctions données et qu'ainsi sont levées les objections faites à D. Bernoulli.

Il n'en est rien. Mais une bonne part de l'analyse mathématique allait sortir de cette intuition de Fourier.

L'étape décisive est l'admirable mémoire de 1829 où P. G. Lejeune-Dirichlet donne le premier théorème de convergence de séries de Fourier. Après avoir établi, pour une fonction f monotone et continue entre 0 et h, la formule :

Dirichlet montre que, pour toute fonction f monotone et continue par morceaux sur le tore T, les sommes partielles SN() de la série de Fourier de f convergent, en tout point t, vers :

moyenne des valeurs limites de f à droite et à gauche de t. Cela résulte de (9) et de l'importante formule :
où :

Dans la dernière intégrale (10), DN joue le rôle d'un noyau de convolution. On l'appelle, naturellement, le noyau de Dirichlet.

L'intérêt du travail de Dirichlet n'est pas seulement dans le résultat, ni dans la méthode – qui est fort belle. On peut considérer que le concept moderne de fonction remonte à ce mémoire. Auparavant, une fonction était donnée soit par une expression analytique, soit par une représentation graphique. Au contraire, pour Dirichlet, la fonction n'est qu'une loi qui à chaque valeur x de la variable fait correspondre (x). Pour expliquer, par exemple, que les intégrales (8) n'ont de sens que pour certaines fonctions, Dirichlet considère une fonction ϕ égale à a pour x rationnel et à b pour x irrationnel, a étant différent de b. Avec le concept d'intégrale qu'on avait à l'époque, et qui allait être formalisé par Riemann, il s'agit en effet d'une fonction non intégrable.

La thèse de Riemann « Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique » a pour résultat principal un théorème de localisation qui s'exprime grossièrement ainsi : Si deux fonctions sont égales au voisinage d'un point, leurs séries de Fourier ont les mêmes propriétés en ce point. Elle introduit une méthode puissante. Cette méthode consiste à associer à une série trigonométrique (4), à coefficients tendant vers 0, la série deux fois formellement intégrée :

(on suppose pour simplifier c0 = 0), qui converge vers une fonction continue F(), et elle consiste ensuite à étudier la différence seconde :
q [...]

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Pour citer l’article

Jean-Pierre KAHANE, « SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 janvier 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/series-trigonometriques/