SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

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Aperçu historique

Quoique certaines sommes de séries trigonométriques aient déjà été calculées par L. Euler (cf. analyse harmonique), on peut considérer que l'histoire des séries trigonométriques remonte à la solution, donnée par D. Bernoulli, du problème des cordes vibrantes. Le problème est de calculer le mouvement d'une corde, de longueur l, fixée en ses extrémités, et qui est soit écartée de sa position d'équilibre et lâchée (corde de guitare), soit frappée de façon à lui imprimer, en ses différents points, des vitesses de déplacement latéral (corde de piano).

Mouvement d'une corde

Mouvement d'une corde

Dessin

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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L'équation des cordes vibrantes, qui concerne le déplacement latéral y(x, ) (supposé petit) au temps t du point x de la corde, est :

les conditions initiales imposent :
et respectivement :
pour la corde pincée, et :
pour la corde frappée. D'Alembert et Euler avaient découvert la solution générale, sous la forme :
f est une fonction périodique et de période 2 l qui, dans le premier cas, est impaire et égale à ϕ/2 sur [0, l] et, dans le second cas, est paire et primitive de ψ/2 ω sur [0, l]. Pour des raisons physiques évidentes, D. Bernoulli pensait pouvoir écrire la solution sous la forme d'une série d'harmoniques solutions de l'équation des cordes vibrantes, c'est-à-dire :
dans le premier cas et, dans le second cas,

Mais cela supposait, par exemple dans le premier cas, que l'on puisse écrire ϕ(x) sous la forme :

Comment une fonction ϕ (x) arbitraire pourrait-elle se résoudre en une somme de fonctions sinus d'arcs multiples ? Les meilleurs mathématiciens de l'époque (1750) ne le croyaient pas possible.

La question ne fut reprise que cinquante ans plus tard, par Fourier, à l'occasion de la théorie analytique de la chaleur (1822). L'équation en cause est ici :

y est la température au temps t et au point x d'une barre maintenue à température fixe (par exemple 0) aux extrémités, et une solution formelle en est :
sorte que :

De nouveau, on est amené à tenter d'écrire une fonction donnée sous forme d'une série trigonométrique. Fourier donne une série d'exemples, fondés sur des formules du type (8). Il conclut, un peu [...]

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Pour citer l’article

Jean-Pierre KAHANE, « SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 26 juillet 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/series-trigonometriques/