SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
Applications des séries trigonométriques
En mathématique, les séries trigonométriques n'ont cessé, depuis deux cents ans, de suggérer de nouveaux concepts et de nouveaux sujets d'étude. Sans occuper, dans la mathématique du xxe siècle, la place qu'elles tenaient au xixe siècle, on peut penser que leur influence n'est pas terminée.
Les méthodes fondées sur les sommes trigonométriques jouent un rôle important en théorie des nombres : problèmes de Goldbach et de Waring, répartition modulo 1. Le lien entre séries trigonométriques et séries de Taylor explique leur intérêt dans l'étude du comportement des fonctions analytiques à la frontière. Les séries trigonométriques généralisées, qui interviennent dans la théorie des fonctions presque périodiques, ont aussi été appliquées à la fonction ζ(s) de Riemann. On pourrait poursuivre la liste des exemples.
Nées avec le problème des cordes vibrantes et la théorie analytique de la chaleur, les séries trigonométriques ont conservé avec la physique un lien permanent, en particulier en optique, en astronomie et en cristallographie.
La mise en œuvre de programmes de transformées de Fourier rapides permet le traitement sur ordinateurs de données autrefois inexploitables. En un mot, les formules de Fourier, dans lesquelles les intégrales sont remplacées par des sommes finies pour se prêter au calcul, permettent le calcul de N coefficients au moyen d'un nombre d'opérations (additions, multiplications) qui est de l'ordre de N2. La « transformée de Fourier rapide » permet d'obtenir ces N coefficients au moyen de N lg N opérations. Le gain est considérable.
C'est ainsi qu'en 1970, dans certains programmes du Centre interrégional de calcul électronique (C.I.R.C.É.) à Orsay, on pouvait calculer plus d'un million de coefficients en moins de dix minutes. Ces programmes ont été utilisés particulièrement en astrophysique.
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Écrit par
- Jean-Pierre KAHANE : professeur à l'université de Paris-Sud.
Classification
Pour citer cet article
Jean-Pierre KAHANE. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
Média
Mouvement d'une corde
Encyclopædia Universalis France
Autres références
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CANTOR GEORG (1845-1918)
- Écrit par Hourya BENIS-SINACEUR
- 2 886 mots
- 1 média
Une fonction périodique d’une variable réelle s’écrit-elle de manière unique comme série convergente de fonctions trigonométriques ? Heinrich Eduard Heine (1821-1881), collègue de Cantor à Halle, pose cette question. Cantor la résout affirmativement pour le cas des fonctions continues dans son mémoire... -
FOURIER JOSEPH (1768-1830)
- Écrit par Louis CHARBONNEAU
- 1 849 mots
..., les résultats sont de deux ordres : d'une part, la résolution des équations aux dérivées partielles en attribuant aux conditions aux bornes l'importance qui leur revient, d'autre part, la représentation d'une « fonction arbitraire » par unesérie trigonométrique. -
HARMONIQUE ANALYSE
- Écrit par René SPECTOR
- 5 540 mots
Lorsqu'on fait vibrer, dans des conditions idéales, une corde de longueur l, fixée en ses extrémités d'abscisses 0 et l, l'équation aux dérivées partielles :
est vérifiée, où u(x, t) est une fonction dont la valeur représente, à l'instant t, le déplacement transversal,...
-
LA VALLÉE-POUSSIN CHARLES JOSEPH DE (1866-1962)
- Écrit par Jacques MEYER
- 229 mots
Mathématicien belge, né à Louvain et mort à Bruxelles. Charles J. de La Vallée-Poussin enseigna à l'université de Louvain de 1891 jusqu'à sa retraite. Il fut membre de l'Académie belge (1909), membre associé étranger de l'Académie des sciences (1945), membre honoraire de la London Mathematical...
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