SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Quelques problèmes et autres développements

La convergence des séries de Fourier

Dirichlet avait établi que la convergence des séries de Fourier avait lieu pour des fonctions monotones et continues par morceaux, Du Bois-Reymond qu'elle n'avait pas nécessairement lieu pour des fonctions continues. Le théorème de Fischer-Riesz établit, quant à lui, que les sommes partielles de la série de Fourier d'une fonction ∈ L2 tendent vers f dans l'espace L2.

Jusqu'en 1966, on n'a pas su si la série de Fourier d'une fonction continue sur T converge nécessairement sur un ensemble non vide. À cette date, L. Carleson a montré que, pour toute ∈ L2, la série de Fourier de f converge vers () presque partout. La réponse à la question posée est donc positive. C'est le meilleur résultat possible, dans ce sens que, étant donné un ensemble de mesure nulle sur T, il existe une fonction continue dont la série de Fourier diverge sur cet ensemble.

Le théorème de Carleson vaut en remplaçant L2 par Lp, avec > 1 (R. Hunt, 1967). Il ne vaut pas pour L1, puisque, dès 1926, on connaissait des fonctions de L1 dont la série de Fourier diverge partout (A. N. Kolmogorov).

Essentiellement, pour les séries de Fourier à une variable, le problème de la convergence se trouve résolu avec les travaux de Carleson et Hunt.

Pour les séries de Fourier à plusieurs variables du type (6), avec ≥ 2, il faut définir ce qu'on appelle les sommes partielles avant de poser le problème de la convergence. Si l'on prend les sommes partielles « cubiques », définies comme la somme des termes pour lesquels :

on a le résultat analogue au théorème de Carleson et Hunt (Charles Fefferman, Per Sjölin). Si l'on prend les sommes partielles « sphériques » définies par :
il existe pour tout < 2 une fonction de Lp(Tk) dont la série de Fourier diverge presque partout (Fefferman, 1972) ; la situation est donc très différente pour k = 1 et pour ≥ 2 ; le problème reste ouvert pour ≥ 2, ≥ 2.

La convergence des séries trigonométriques

La convergence des séries trigonométriques est une question toute différente de la précédente : on [...]


1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 9 pages






Écrit par :

Classification


Autres références

«  SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES  » est également traité dans :

CANTOR GEORG (1845-1918)

  • Écrit par 
  • Hourya BENIS-SINACEUR
  •  • 2 887 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Cantor et Dedekind, une relation déterminante »  : […] Une fonction périodique d’une variable réelle s’écrit-elle de manière unique comme série convergente de fonctions trigonométriques ? Heinrich Eduard Heine (1821-1881), collègue de Cantor à Halle, pose cette question. Cantor la résout affirmativement pour le cas des fonctions continues dans son mémoire « Sur l’extension d’un théorème de la théorie des séries trigonométriques » publié en 1872 dans […] Lire la suite

FOURIER JOSEPH (1768-1830)

  • Écrit par 
  • Louis CHARBONNEAU
  •  • 1 865 mots

Dans le chapitre « L'œuvre mathématique »  : […] L'originalité de Fourier réside principalement dans sa théorie de la propagation de la chaleur dans un solide. Sur le plan purement mathématique, les résultats sont de deux ordres : d'une part, la résolution des équations aux dérivées partielles en attribuant aux conditions aux bornes l'importance qui leur revient, d'autre part, la représentation d'une «  fonction arbitraire » par une série trigo […] Lire la suite

HARMONIQUE ANALYSE

  • Écrit par 
  • René SPECTOR
  •  • 5 770 mots

Lorsqu'on fait vibrer, dans des conditions idéales, une corde de longueur  l , fixée en ses extrémités d'abscisses 0 et l , l'équation aux dérivées partielles : est vérifiée, où u ( x , t ) est une fonction dont la valeur représente, à l'instant  t , le déplacement transversal, par rapport à la position d'équilibre, du point d'abscisse  x . D'Alembert donne, en 1747, la solution de cette équation […] Lire la suite

LA VALLÉE-POUSSIN CHARLES JOSEPH DE (1866-1962)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 230 mots

Mathématicien belge, né à Louvain et mort à Bruxelles. Charles J. de La Vallée-Poussin enseigna à l'université de Louvain de 1891 jusqu'à sa retraite. Il fut membre de l'Académie belge (1909), membre associé étranger de l'Académie des sciences (1945), membre honoraire de la London Mathematical Society (1952), président honoraire de l'Union mathématique internationale. La Vallée-Poussin est surtout […] Lire la suite

LUZIN NIKOLAÏ NIKOLAÏEVITCH (1883-1950)

  • Écrit par 
  • Jean LOUVEAUX
  •  • 846 mots

Mathématicien russe. Né à Tomsk, le 9 décembre 1883, Nikolaï Luzin poursuit ses études secondaires dans cette ville jusqu'en 1901, puis part pour Moscou étudier les mathématiques à l'université, sous la direction de D. F. Egorov. En 1906, il est à Paris où il suit les cours de la Sorbonne et du Collège de France. De retour à Moscou, il prépare une maîtrise (1910), et devient professeur assistant à […] Lire la suite

POINCARÉ HENRI (1854-1912)

  • Écrit par 
  • Gérard BESSON, 
  • Christian HOUZEL, 
  • Michel PATY
  •  • 6 143 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Mécanique céleste et systèmes dynamiques »  : […] Étudiant, en 1885, le comportement d'une masse fluide en rotation dans un champ de forces, Poincaré analysa de manière systématique les conditions d'équilibre, en utilisant le développement en séries des périodes d'une fonction elliptique. Il put mettre en évidence que, dans une même série, ces figures dépendent d'un paramètre variable, qui détermine le type de la figure d'équilibre. À chaque fig […] Lire la suite

RIEMANN BERNHARD (1826-1866)

  • Écrit par 
  • Michel HERVÉ
  •  • 3 068 mots

Dans le chapitre « Intégrale de Riemann »  : […] En décembre 1853, Riemann présenta un mémoire d'habilitation en trois parties, parmi lesquelles la faculté de Göttingen, c'est-à-dire Gauss, devait choisir pour la soutenance : l'une d'elles était « la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique ». C'est là que, après avoir rappelé (chap. i er ) les premiers travaux de d'Alembert, Euler, Lagrange, et (chap. ii ) les formu […] Lire la suite

STIELTJES THOMAS-JEAN (1856-1894)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 497 mots

Mathématicien né le 29 décembre 1856 à Zwolle (Pays-Bas), mort le 31 décembre 1894 à Toulouse. Sentant une profonde vocation pour les travaux théoriques, Thomas Stieltjes fit le tour de toute l'analyse de son époque. Sa méthode de recherche s'apparentait à celle de Gauss : découvrir les lois générales à travers les particularités de l'exemple. Fils d'ingénieur, Stieltjes fit ses études à l'École p […] Lire la suite

THÉORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR (J. Fourier)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 194 mots

Les travaux de Joseph Fourier (1768-1830) sur la propagation de la chaleur, entrepris dès 1804 alors qu'il occupait le poste de préfet de l'Isère, présentés en 1811 dans un mémoire à l'Académie des sciences et rassemblés en 1822 dans le livre Théorie analytique de la chaleur , ont joué un rôle fondamental dans le développement de l'analyse mathématique. Fourier insistait sur le fait que « les équa […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Jean-Pierre KAHANE, « SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 13 août 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/series-trigonometriques/