NUMÉRATION

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Numération de position à base constante

Soit B un entier naturel fixe, dit « base » ; une unité de chaque ordre vaut B unités de l'ordre précédent.

Par suite de l'unicité du quotient et du reste dans la division euclidienne (cf. divisibilité, chap. 1), tout entier naturel a peut s'écrire d'une manière et d'une seule sous la forme :

où les a0, a1, ..., an sont des entiers naturels strictement inférieurs à B et où an est non nul.

La numération de position revient à représenter le nombre en écrivant seulement les coefficients de ce polynôme (mais tous les coefficients nuls ou non, de manière que leur place soit définie sans ambiguïté), donc à désigner le nombre précédent par :

ou, plus généralement, lorsque aucune confusion n'est possible, en omettant l'indication de la base, par :
et même sans surlignage par :

(pour l'introduction du zéro, cf. notation mathématique). Ainsi, le nombre « neuf » s'écrit :

Une erreur est à éviter : il faut se garder de lire « mille un » pour 1001(deux) ; on doit lire la suite des chiffres écrits de gauche à droite dès que le nombre est écrit dans une base différente de dix. Il serait également maladroit d'écrire la base en chiffres, car on ne saurait pas de quel nombre il s'agit (sauf lorsque l'on convient que les bases sont toujours exprimées dans la base dix, par exemple).

Le système décimal est le système de numération de position où la base est dix, c'est-à-dire que les unités du deuxième ordre (les « dizaines ») valent dix unités du premier ordre, les unités du troisième ordre (les « centaines ») valent dix unités du deuxième ordre, etc. Prenons, par exemple, 8 345 :

Le système binaire est le système de numération de position où la base est deux : l'alphabet est composé des deux seuls chiffres 0 et 1. Ce système est très utilisé, car les machines à deux états (machines électriques ou électroniques, par exemple) peuvent réaliser une représentation des nombres entiers par leur désignation binaire, les deux états de la machine étant, dans le code, la traduction du 0 et du 1. Ainsi, « neuf » peut être codé par un top suivi de deux blancs puis d' [...]

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Pour citer l’article

Josette ADDA, « NUMÉRATION », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 10 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/numeration/