MÉCANIQUEMécanismes

Analyse d'un mécanisme

Les méthodes d'analyse rigoureuse qui permettent de prouver qu'un mécanisme, défini comme un ensemble de solides assemblés entre eux, fonctionne correctement ou qui conduisent à bâtir un mécanisme répondant aux besoins utilisent soit la cinématique, soit la dynamique des solides.

Paramètre de définition du solide

Il faut d'abord définir le nombre de paramètres caractérisant un solide (cf. cinématique, dynamique). La notion de mouvement étant plus visuelle que la notion d'effort, on choisira donc des paramètres cinématiques. La position d'un solide est complètement

déterminée par celle de deux vecteurs OA, OB non confondus, soit six composantes sur un système d'axes. Le champ des vitesses est parfaitement défini par la connaissance des deux vecteurs (vitesse linéaire, vitesse angulaire) en un point A du solide : V_A (vitesse linéaire de A) ; →W_A (vitesse angulaire autour de l'axe instantané de rotation passant par A), soit six composantes ; en un point B du même solide, les vitesses sont :

Équations de liaison

Les solides ou pièces sont assemblés entre eux ou liés l'un par rapport à l'autre. L'assemblage porte le nom de couple. Il peut être caractérisé par les équations de liaison issues de l'analyse des mouvements relatifs ainsi gênés, nommés « obstacles ». L'assemblage doit être réalisable et utilisable ; aussi les surfaces de liaison ou surfaces fonctionnelles comporteront des cylindres, des plans et des sphères ; le seul contact bien défini est le contact ponctuel. Les couples de base se réduisent à l'appui simple, à l'anneau, au couple sphérique. Les équations caractéristiques de la liaison expriment le torseur du mouvement relatif :

au point M de contact entre les pièces i et j ; par exemple, l'appui simple est défini par une seule équation :où V_Mi,0 et V_Mj,0 représentent les mouvements relatifs des points M_i et M_j par rapport au système de référence 0, n étant le vecteur unitaire porté par MN, normale commune aux surfaces considérées. L'anneau est défini par deux équations :où z est le vecteur unitaire porté par l'axe MZ normal à l'axe de rotation OX ; où y est le vecteur unitaire porté par l'axe MY normal à MZ et à l'axe de rotation OX.

La sphère est définie par les trois équations de projection de l'équation :

On peut définir la liaison par le nombre d'équations affectées du signe (−), puisque l'on a des obstacles au mouvement relatif ; sur la figure, on a les assemblages : (− 1), (− 2), (− 3). Des assemblages plus complets sont conçus à partir de ces éléments de base, le verrou cylindrique (− 4), le couple rotoïde (− 5), le couple prismatique (− 5), par exemple.

En réalité, ce ne sont que des modèles. Pour que les assemblages résistent aux efforts imposés, on accepte un hyperstatisme local en remplaçant le contact ponctuel par un contact entre surfaces.

Loi fondamentale des mécanismes

Un mécanisme est formé d'un nombre p de pièces assemblées entre elles et à l'élément principal, le bâti O ; les assemblages sont au nombre de a ; chacun d'eux est caractérisé par |L_i,_j| équations de liaison. On dispose de :

équations pour définir |6 p| paramètres, et l'équation caractéristique du mécanisme est :

Si toutes les équations sont indépendantes, s'il n'existe aucune particularité géométrique, d représente le degré de liberté du mécanisme : si d = 0, le mécanisme est stable et tous les paramètres sont définis, si d = 1, c'est un mécanisme de transformation de mouvement, car on peut obtenir une relation interne entre un paramètre de la pièce d'entrée et de la pièce de sortie ; si d > 1, il y a plusieurs degrés de liberté et si d < 0, le mécanisme est dit hyperstatique.

Fréquemment, on ramène les mouvements dans l'espace à des mouvements plans ou sphériques. Le mouvement plan consiste à définir le torseur du mouvement de chaque solide et celui des mouvements relatifs dans les assemblages à trois paramètres ou à trois équations de liaison (cf. supra, Équations de liaison) :

Le mouvement sphérique est tel que le torseur des mouvements se réduise à une rotation passant par un point fixe O :

Dans ces deux cas, la loi fondamentale devient :

Précisons néanmoins que si, mathématiquement, ces mécanismes sont imaginables, ils exigent une grande précision technologique de parallélisme et de perpendicularité des pièces et des assemblages. Ce n'est donc qu'une méthode pratique d'étude ; il faut ensuite revenir à l'étude du mécanisme dans l'espace e [...]

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