GÖDEL KURT (1906-1978)

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L'œuvre

Les travaux de Gödel ont été exposés et situés dans leur contexte mathématique et épistémologique (cf. logique mathématique, hilbert, fondements des mathématiques et problèmes de hilbert). Aussi nous contenterons-nous ici d'un bref aperçu.

Le premier grand résultat est celui de la complétude du calcul des prédicats. Dans leur Grundzüge der Theoretischen Logik, paru en 1928, Hilbert et Ackermann, poursuivant le « programme » de formalisation des mathématiques, posent la question suivante : étant donné un système formel défini par un langage, des axiomes, des règles de déduction et une notion d'interprétation dans certaines structures mathématiques, est-il vrai que toute assertion vérifiée dans toute interprétation est formellement déductible des axiomes (la réciproque étant quasi évidente) ? La réponse affirmative qu'apporte Gödel confirme le caractère complet des règles de déduction formelle énoncées par Frege, leur ôtant a posteriori leur caractère arbitraire, et ouvre la voie au double développement de l'étude syntaxique des propositions non réfutables et de l'étude sémantique des interprétations vérifiant un ensemble donné d'assertions (étude qui a pris le nom de théorie des modèles). Une conséquence immédiate mais fondamentale du théorème de complétude est le théorème de compacité, qui exprime le caractère fini de la propriété : l'ensemble X d'assertions est vérifié dans une certaine interprétation.

Les théorèmes d'incomplétude constituent la deuxième grande découverte de Gödel. Conformément à son « programme », Hilbert cherchait à démontrer (de manière finitiste) la consistance d'un système formel de l'analyse. Un rapide examen convainquit Gödel de l'impossibilité d'une telle démonstration. Mieux, il prouva que tout système formel assez puissant pour inclure un minimum d'arithmétique, de théorie des ensembles ou de théorie des types comprend des propositions indécidables : par exemple, il existe une proposition de l'arithmétique que les axiomes de Peano ne peuvent ni démontrer ni réfuter, et qui est vraie dans l'ensemble des entiers naturels.

Ce premier t [...]


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Écrit par :

  • : professeur de philosophie à l'université de Paris-IV-Sorbonne, ancien directeur du département d'études cognitives, École normale supérieure

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Pour citer l’article

Daniel ANDLER, « GÖDEL KURT - (1906-1978) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 novembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/kurt-godel/