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GÖDEL KURT (1906-1978)

L'œuvre

Les travaux de Gödel ont été exposés et situés dans leur contexte mathématique et épistémologique (cf. logique mathématique, hilbert, fondements des mathématiques et problèmes de hilbert). Aussi nous contenterons-nous ici d'un bref aperçu.

Le premier grand résultat est celui de la complétude du calcul des prédicats. Dans leur Grundzüge der Theoretischen Logik, paru en 1928, Hilbert et Ackermann, poursuivant le « programme » de formalisation des mathématiques, posent la question suivante : étant donné un système formel défini par un langage, des axiomes, des règles de déduction et une notion d'interprétation dans certaines structures mathématiques, est-il vrai que toute assertion vérifiée dans toute interprétation est formellement déductible des axiomes (la réciproque étant quasi évidente) ? La réponse affirmative qu'apporte Gödel confirme le caractère complet des règles de déduction formelle énoncées par Frege, leur ôtant a posteriori leur caractère arbitraire, et ouvre la voie au double développement de l'étude syntaxique des propositions non réfutables et de l'étude sémantique des interprétations vérifiant un ensemble donné d'assertions (étude qui a pris le nom de théorie des modèles). Une conséquence immédiate mais fondamentale du théorème de complétude est le théorème de compacité, qui exprime le caractère fini de la propriété : l'ensemble X d'assertions est vérifié dans une certaine interprétation.

Les théorèmes d'incomplétude constituent la deuxième grande découverte de Gödel. Conformément à son « programme », Hilbert cherchait à démontrer (de manière finitiste) la consistance d'un système formel de l'analyse. Un rapide examen convainquit Gödel de l'impossibilité d'une telle démonstration. Mieux, il prouva que tout système formel assez puissant pour inclure un minimum d'arithmétique, de théorie des ensembles ou de théorie des types comprend des propositions indécidables : par exemple, il existe une proposition de l'arithmétique que les axiomes de Peano ne peuvent ni démontrer ni réfuter, et qui est vraie dans l'ensemble des entiers naturels.

Ce premier théorème d'incomplétude s'exprime formellement de telle manière qu'il est possible de transformer sa démonstration en dérivation formelle. D'où le second théorème d'incomplétude : dans tout système S vérifiant certaines conditions minimales, la consistance de S ne peut être formellement établie. Ces résultats, aux conséquences épistémologiques considérables, marquaient les limites internes du formalisme, mettaient fin aux espoirs finitistes de Hilbert, et réfutaient en même temps son critère d'existence des objets mathématiques, mesurée à la consistance de l'assertion de leur existence.

Dès 1936, Gentzen donnait une démonstration de la consistance de l'arithmétique ; d'autres allaient suivre. Mais chacune met (nécessairement) en jeu des mécanismes déductifs non formalisables dans le système dont la consistance est étudiée. Dans son article de 1958, où il livre notamment une nouvelle preuve de la consistance de l'arithmétique, Gödel va jusqu'à interpréter son (second) théorème d'incomplétude comme exprimant la nécessité, pour une telle preuve, de faire intervenir des notions abstraites engageant la signification (et non les seules propriétés perceptives, concrètes) des combinaisons finies de symboles du système.

Les résultats d'incomplétude conduisaient également à la définition générale de fonction récursive, par Herbrand et Gödel, et à l'élucidation par Turing de la notion de calculabilité, qui permettait de dégager la véritable généralité des théorèmes de Gödel.

C'est en théorie des ensembles, à l'axiomatisation de laquelle il contribua,[...]

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Écrit par

  • : professeur de philosophie à l'université de Paris-IV-Sorbonne, ancien directeur du département d'études cognitives, École normale supérieure

Classification

Pour citer cet article

Daniel ANDLER. GÖDEL KURT (1906-1978) [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • GÖDEL : THÉORÈMES D'INCOMPLÉTUDE

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 174 mots

    Deux ans après avoir soutenu sa thèse de doctorat à l'université de Vienne, le jeune mathématicien autrichien Kurt Gödel (1906-1978) prouve que, dans tout système mathématiqueaxiomatique, il existe des propositions dont on ne peut démontrer ni la véracité ni la fausseté. En particulier,...

  • CANTOR GEORG (1845-1918)

    • Écrit par Hourya BENIS-SINACEUR
    • 2 886 mots
    • 1 média
    ...et le continu, mais une infinité, exactement comme il y a une infinité de nombres finis. Signalons au passage que le procédé diagonal sera utilisé par Kurt Gödel (1906-1978) pour démontrer, en 1931, l’incomplétude de l’arithmétique élémentaire et deviendra un outil caractéristique des mathématiques du...
  • CONTINU HYPOTHÈSE DU

    • Écrit par Patrick DEHORNOY
    • 2 220 mots
    Théorème de Gödel (1938) : Si ZFC est non contradictoire, alors ¬HC n'est pas prouvable à partir de ZFC.
  • DÉMONSTRATION THÉORIE DE LA

    • Écrit par Jean-Yves GIRARD
    • 6 140 mots
    • 1 média
    ...Bourbaki : on sait bien que les idéologies simplistes ont un pouvoir d'attraction qui persiste même après leur échec patent ; la réfutation de Hilbert par Gödel ne nous propose en aucune manière une vision de même nature : Gödel a détruit l'espoir de donner une réponse claire et nette à certaines interrogations...
  • FINITISME ET ULTRAFINITISME, mathématique

    • Écrit par Jacques-Paul DUBUCS
    • 1 492 mots
    ...„épistémiquement stable“ : tout énoncé finitiste vrai (respectivement faux) devrait pouvoir être prouvé (respectivement réfuté) par des méthodes finitistes. Les résultats d'incomplétude obtenus par Kurt Gödel (1906-1978) en 1931 ont précisément montré que ce n'était pas le cas. En particulier, l'arithmétique...
  • Afficher les 11 références

Voir aussi