DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

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Le grand théorème de Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665) fut un mathématicien d'une érudition extraordinaire (géométrie analytique, fondements du calcul infinitésimal, lois de l'optique, fondements du calcul des probabilités et surtout théorie des nombres). Malheureusement, presque tous ses théorèmes étaient donnés sans démonstration, car il était alors d'usage de proposer ses découvertes à la sagacité de ses interlocuteurs (avec en particulier une rivalité très vive entre géomètres anglais et géomètres français). Le théorème élémentaire de Fermat (ap − a est toujours divisible par p si p est premier), de même que toutes ses études sur les formes quadratiques et sur l'équation de Pell (appelée souvent Pell-Fermat) ont été vérifiés et établis par la suite, ainsi que toutes les propositions qu'il a affirmées, à l'exception de ce que l'on appelle le grand théorème de Fermat (on dit aussi le « dernier théorème de Fermat »).

Ce « théorème » consiste en la proposition suivante : Pour ≥ 3, l'équation

est impossible en nombres entiers avec xyz ≠ 0. L'auteur affirme cette proposition, en 1637, dans une annotation marginale des œuvres de Diophante ; il y écrit : « J'ai découvert une démonstration assez remarquable de cette proposition, mais elle ne tiendrait pas dans cette marge. »

Il suffirait d'établir ce théorème pour n = 4 et pour tout nombre premier p. Malheureusement, si la démonstration pour x4 + y4 = z4 est assez simple par la méthode de descente infinie, si Euler et Gauss traitent le cas de p = 3 de même, si Legendre en 1823 met au point le cas de p = 5 (par montée infinie), le théorème a été très difficile à établir dans sa généralité.

Pour n = 4, la démonstration de Frénicle (1676) repose sur la descente infinie dont le principe était donné par Fermat : raisonnant sur l'équation de Pythagore (x2)2 + (y2)2z2, on obtient, à partir de toute solution éventuelle (x0, y0, z0) [...]

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Pour citer l’article

Marcel DAVID, Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, « DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-diophantiennes/