DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

Le grand théorème de Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665) fut un mathématicien d'une érudition extraordinaire (géométrie analytique, fondements du calcul infinitésimal, lois de l'optique, fondements du calcul des probabilités et surtout théorie des nombres). Malheureusement, presque tous ses théorèmes étaient donnés sans démonstration, car il était alors d'usage de proposer ses découvertes à la sagacité de ses interlocuteurs (avec en particulier une rivalité très vive entre géomètres anglais et géomètres français). Le théorème élémentaire de Fermat (a^p − a est toujours divisible par p si p est premier), de même que toutes ses études sur les formes quadratiques et sur l'équation de Pell (appelée souvent Pell-Fermat) ont été vérifiés et établis par la suite, ainsi que toutes les propositions qu'il a affirmées, à l'exception de ce que l'on appelle le grand théorème de Fermat (on dit aussi le « dernier théorème de Fermat »).

Ce « théorème » consiste en la proposition suivante : Pour n ≥ 3, l'équation

est impossible en nombres entiers avec xyz ≠ 0. L'auteur affirme cette proposition, en 1637, dans une annotation marginale des œuvres de Diophante ; il y écrit : « J'ai découvert une démonstration assez remarquable de cette proposition, mais elle ne tiendrait pas dans cette marge. »

Il suffirait d'établir ce théorème pour n = 4 et pour tout nombre premier p. Malheureusement, si la démonstration pour x⁴ + y⁴ = z⁴ est assez simple par la méthode de descente infinie, si Euler et Gauss traitent le cas de p = 3 de même, si Legendre en 1823 met au point le cas de p = 5 (par montée infinie), le théorème a été très difficile à établir dans sa généralité.

Pour n = 4, la démonstration de Frénicle (1676) repose sur la descente infinie dont le principe était donné par Fermat : raisonnant sur l'équation de Pythagore (x²)² + (y²)² = z², on obtient, à partir de toute solution éventuelle (x₀, y₀, z₀), une nouvelle solution où |z₁| < |z₀|, ce qui permet de conclure à l'impossibilité.

Notons aussi l'impossibilité de x⁴ + y⁴ = 2 z², si x²≠ y² (d'où l'impossibilité de trouver trois entiers dont les puissances quatrièmes soient en progression arithmétique de raison non nulle).

De même x⁴ + y⁴ = 3 z² est impossible (comme x² + y² = 3 z²) et, d'une manière plus générale, x⁴ + y⁴ = kz² est impossible pour 3 ≤ k ≤ 16, sauf k = 8 (études générales de Maillet en 1900).

Pour n = 3, la démonstration ébauchée par Euler en 1774 fut précisée par Gauss. Comme dans le cas général de n premier quelconque, la recherche se scinde en deux étapes : on montre d'abord l'impossibilité en nombres non divisibles par 3 ; pour cela, on déduit de x³ + y³ = z³ la congruence :

d'où :d'où :ce qui est impossible sans que x, y ou z soit divisible par 3.

La dernière étape est plus délicate et repose sur une descente infinie : on suppose une solution de x³ + y³ = z³, avec |xyz| minimum et on pose :

qui conduit à u² + 3 w² = s³, si (u, 3) = 1. Si, au contraire, 3 divise u, on pose u = 3 v, d'où 18 v (3 v² + w²) = z³ conduisant à 3 v² + w² = s³. Les solutions de s³ = a² + 3 b², mises sous la forme :conduisent alors à :où ρ³ + τ³ = σ³, avec |ρστ| < |xyz|.

Pour n = 5, la démonstration faite par Legendre en 1825 repose sur :

cela permet d'établir que ϕ (x, y) doit avoir des diviseurs aussi grands qu'on veut (méthode de montée infinie).

La mathématicienne Sophie Germain a établi que, si n est premier ainsi que (2 n + 1), il faudrait, pour que l'équation de Fermat soit vérifiée, que x, y ou z soit divisible par n. Ce résultat[...]