DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

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Le grand théorème de Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665) fut un mathématicien d'une érudition extraordinaire (géométrie analytique, fondements du calcul infinitésimal, lois de l'optique, fondements du calcul des probabilités et surtout théorie des nombres). Malheureusement, presque tous ses théorèmes étaient donnés sans démonstration, car il était alors d'usage de proposer ses découvertes à la sagacité de ses interlocuteurs (avec en particulier une rivalité très vive entre géomètres anglais et géomètres français). Le théorème élémentaire de Fermat (ap − a est toujours divisible par p si p est premier), de même que toutes ses études sur les formes quadratiques et sur l'équation de Pell (appelée souvent Pell-Fermat) ont été vérifiés et établis par la suite, ainsi que toutes les propositions qu'il a affirmées, à l'exception de ce que l'on appelle le grand théorème de Fermat (on dit aussi le « dernier théorème de Fermat »).

Ce « théorème » consiste en la proposition suivante : Pour ≥ 3, l'équation

est impossible en nombres entiers avec xyz ≠ 0. L'auteur affirme cette proposition, en 1637, dans une annotation marginale des œuvres de Diophante ; il y écrit : « J'ai découvert une démonstration assez remarquable de cette proposition, mais elle ne tiendrait pas dans cette marge. »

Il suffirait d'établir ce théorème pour n = 4 et pour tout nombre premier p. Malheureusement, si la démonstration pour x4 + y4 = z4 est assez simple par la méthode de descente infinie, si Euler et Gauss traitent le cas de p = 3 de même, si Legendre en 1823 met au point le cas de p = 5 (par montée infinie), le théorème a été très difficile à établir dans sa généralité.

Pour n = 4, la démonstration de Frénicle (1676) repose sur la descente infinie dont le principe était donné par Fermat : raisonnant sur l'équation de Pythagore (x2)2 + (y2)2z2, on obtient, à partir de toute solution éventuelle (x0, y0, z0), une nouvelle solution où |z1| < |z0|, ce qui permet de conclure à l'impossibilité.

Notons aussi l'impossibilité de x4 + y4 = 2 z2, si x y2 (d'où l'impossibilité de trouver trois entiers dont les puissances quatrièmes soient en progression arithmétique de raison non nulle).

De même x4 + y4 = 3 z2 est impossible (comme x2 + y2 = 3 z2) et, d'une manière plus générale, x4 + y4 = kz2 est impossible pour 3 ≤ k ≤ 16, sauf k = 8 (études générales de Maillet en 1900).

Pour n = 3, la démonstration ébauchée par Euler en 1774 fut précisée par Gauss. Comme dans le cas général de n premier quelconque, la recherche se scinde en deux étapes : on montre d'abord l'impossibilité en nombres non divisibles par 3 ; pour cela, on déduit de x3 + y3 = z3 la congruence :

d'où :
d'où :
ce qui est impossible sans que x, y ou z soit divisible par 3.

La dernière étape est plus délicate et repose sur une descente infinie : on suppose une solution de x3 + y3 = z3, avec |xyz| minimum et on pose :

qui conduit à u2 + 3 w2 = s3, si (u, 3) = 1. Si, au contraire, 3 divise u, on pose u = 3 v, d'où 18 (3 v2 + w2) = z3 conduisant à 3 v2 + w2 = s3. Les solutions de s3 = a2 + 3 b2, mises sous la forme :
conduisent alors à :
où ρ3 + τ3 = σ3, avec |ρστ| < |xyz|.

Pour n = 5, la démonstration faite par Legendre en 1825 repose sur :

cela permet d'établir que ϕ (x, y) doit avoir des diviseurs aussi grands qu'on veut (méthode de montée infinie).

La mathématicienne Sophie Germain a établi que, si n est premier ainsi que (2 n + 1), il faudrait, pour que l'équation de Fermat soit vérifiée, que x, y ou z soit divisible par n. Ce résultat a été généralisé par Legendre.

Lamé, en 1837, établit le cas n = 7 après que Lejeune-Dirichlet ait démontré, en 1832, l'impossibilité pour n = 14.

L'étude générale, pour n premier impair, comprend donc deux étapes. Dans la première étape, appelée souvent « premier cas du théorème », on démontre qu'il n'y a pas de solution parmi les entiers non multiples de n. Dans la deuxième étape, appelée « deuxième cas du théorème », on montre qu'il n'y a pas de solution dont l'un des nombres soit multiple de n. Cette étude générale fut entreprise par Kummer en 1844 et utilise le corps Q (ρ) des nombres algébriques de degré (n − 1) définis par l'équation ρn − 1 = 0. En effet, si α est une racine primitive n-ième de l'unité, l'équation de Fermat s'écrit  [...]

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Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, Marcel DAVID, « DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 février 2023. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-diophantiennes/