DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS
Équations diophantiennes exponentielles
On appelle ainsi les équations du type :
Comme équations classiques de ce type, résolubles par des factorisations en nombres entiers, citons :
Pour établir une conjecture de Ramanujan l'équation :
Les résultats d'A. Baker sur les formes linéaires de logarithmes ont permis de réaliser d'importants progrès (cf. nombres transcendants). Il s'agit en fait de méthodes d'approximation.
Ainsi, pour f (x) un polynôme à coefficients entiers avec au moins deux zéros, on sait (A. Schinzel, R. Tijdeman, 1976) qu'il n'y a qu'un nombre fini d'entiers m pour lesquels l'équation :
En 1976, R. Tijdeman, utilisant ces méthodes, a montré que l'équation de Catalan :
Par ces méthodes, on a aussi obtenu le résultat suivant sur l'équation de Fermat, où l'on autorise l'exposant à varier : pour C un réel fixé, l'équation xn + yn = zn en entiers naturels non nuls (x, y, z, n) n'a qu'un nombre fini de solutions avec n ≥3, et y − x < C.
Depuis que cet article a été écrit, le grand théorème de Fermat a été démontré par Andrew John Wiles en 1994 [cf. Démonstration du grand théorème de Fermat (Wiles), 1994] et le fait que l'équation de Catalan n'admet qu'une solution a été démontré par Preda Mihăilescu en 2002.
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Écrit par
- Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE : chargé de recherche au C.N.R.S.
- Marcel DAVID : professeur à la faculté des sciences de Reims
- Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis
Classification
Pour citer cet article
Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, Marcel DAVID et Universalis. DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Média
Équation de Pythagore
Encyclopædia Universalis France
Autres références
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PRIX ABEL 2020
- Écrit par Jean-François QUINT
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- 2 médias
Le prix Abel 2020 a été attribué conjointement à Hillel Furstenberg et Gregory Margulis « pour l'utilisation visionnaire de méthodes issues de la théorie des probabilités et de celles des systèmes dynamiques en théorie des groupes, théorie des nombres et combinatoire ».
Hillel...
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ARITHMÉTIQUES (Diophante)
- Écrit par Bernard PIRE
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Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques...
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BAKER ALAN (1939-2018)
- Écrit par Bernard PIRE
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Alan Baker, mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des nombres, est né le 19 août 1939 à Londres. Il a fait ses études supérieures à l'University College de Londres puis au Trinity College de Cambridge où il soutient sa thèse de doctorat en...
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CASSELS JOHN WILLIAM SCOTT (1922-2015)
- Écrit par Bernard PIRE
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Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des nombres. Né le 11 juillet 1922 à Durham, John William Scott Cassels est le fils du directeur de l'agriculture du comté de Durham dans le nord de l'Angleterre. Après des études secondaires et supérieures à Édimbourg (Écosse), il est admis en...
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Voir aussi
