ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES (notions de base)

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Beaucoup de phénomènes peuvent être décrits par une fonction. Par exemple, le déplacement d’un mobile dans l’espace peut être défini par une fonction f(xyz) où les coordonnées x, y et z correspondent à tous les points de l’espace occupés par le mobile traçant ainsi sa trajectoire. La dérivée (opération mathématique) de cette fonction f a une signification concrète : elle donne la vitesse du mobile ; si on dérive encore le résultat obtenu pour la vitesse, on connaît alors l’accélération du mobile. Les dérivées sont donc des outils mathématiques utiles dans la quantification de ce que nous observons tous les jours. Imaginons maintenant que le déplacement de ce mobile dépende aussi de la température ambiante (T) et, pourquoi pas, de la vitesse du vent (V). Pour bien connaître le comportement du mobile dans l’espace compte tenu des conditions ambiantes, on effectue des dérivées sur les coordonnées, sur T et sur V. Ces dérivées sont appelées dérivées partielles. Il peut être intéressant dans certains processus de s’attacher aux relations qui peuvent apparaître entre les dérivées partielles; on obtient alors des équations aux dérivées partielles (EDP), car la fonction contient plusieurs variables.

On distingue les E.D.P. linéaires, comme l’exemple décrit précédemment, et celles non linéaires. Les premières décrivent de très nombreux problèmes issus des sciences physiques (physique quantique, électromagnétisme, conductivité thermique), de la mécanique (mécanique des fluides, mécanique du solide, élasticité), de la chimie (mécanismes de réaction-diffusion) ou encore de la biologie (dynamique des populations) et de la finance (actifs financiers, ou pricing d'actifs). Un seul exemple : l’équation dite des télégraphistes, car elle est toujours utilisée dans les systèmes de communications. Elle résulte de la mise en équation de la valeur de la tension électrique (U) dans un matériau en fonction du temps (t) et de la distance (x). On imagine bien les déperditions des communications téléphoniques par lignes électriques à une certaine époque. La mise en équation (en relation) des dérivées partielles de cette fonction sous la forme

2U2t- αUt- 2U2x=0, α étant une constante,

a résolu bien des problèmes dans ce domaine.

L’équation citée ci-dessus est relativement simple dans la mesure où il s’agit d’une E.D.P. linéaire, c’est-à-dire que les relations entre les dérivées partielles sont linéaires : soit on les additionne, soit on les multiplie par un nombre ou bien par une fonction indépendante de la solution cherchée. Dans bien des cas, on rencontre des EDP non linéaires, c’est-à-dire que la relation entre les dérivées partielles est non linéaire. Par exemple, elle fait intervenir le carré d’une dérivée ou bien on multiplie par une fonction qui dépend elle-même de la solution. Parmi elles, on peut citer l’équation iconale (ou eikonocale) en optique, qui permet de déterminer les trajectoires des rayons lumineux dans un milieu, l’équation de Burgers en mécanique des fluides, qui décrit l’évolution d’un déplacement au sein d’un fluide, et, bien sûr, les célèbres équations de Navier-Stokes de la mécanique des fluides. Ces dernières sont loin d’avoir livré tous leurs secrets et le Clay Mathematics Institute offre un million de dollars à qui fait avancer leur difficile théorie. La plupart du temps, on ne sait pas résoudre de manière exacte les EDP non linéaires et on en est réduit à calculer des approximations, souvent à l’aide de l’informatique (solution approximative ou statistique) ; pourtant leur résolution est cruciale tant du point de vue théorique que pour leurs multiples applications industrielles, comme la supraconductivité qui permet de faire léviter certains trains à grande vitesse ou d’accélérer des particules grâce à des aimants supraconducteurs. C’est pour leurs recherches dans ce domaine qu’ont été récompensés Nash et Nirenberg par le prix Abel 2015.

Portrait de Louis Nirenberg

Photographie : Portrait de Louis Nirenberg

Louis Nirenberg, ici photographié avec le président indien Pratibha Patil lors de la cérémonie d'ouverture du Congrès international de mathématiques de Hyderabad en 2010, a reçu le prix Abel en 2015, conjointement avec John Nash. 

Crédits : N. Seelam/ Afp Photo

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Portrait de John Nash

Photographie : Portrait de John Nash

Avant de recevoir le prix Abel en 2015, John Nash avait reçu le prix Nobel d'économie en 2004. Il a été photographié ici en 2009 à Berlin alors qu'il assistait au vernissage de l'exposition du photographe Peter Badge, lequel s'est d'ailleurs fait une spécialité de la photographie de... 

Crédits : Joerg Carstensen/ dpa/ Corbis

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John F. Nash est né le 13 juin 1928 à Bluefield, une petite ville reculée des Appalaches en Virginie-Occidentale, d’un père ingénieur électricien et d’une mère enseignante. À dix-sept ans, il entre et étudie au Carnegie Institute of Technology dans l’intention de suivre les traces de son père. Mais, inspiré par le livre de John von Neumann, The Theory of Games and Economic Behavior, 1944 (« De la [...]

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Portrait de Louis Nirenberg

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  • : docteur en sciences de la Terre, concepteur de la collection La Science au présent à la demande et sous la direction d'Encyclopædia Universalis, rédacteur en chef de 1997 à 2015

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Pour citer l’article

Yves GAUTIER, « ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES (notions de base) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 mai 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-aux-derivees-partielles-notions-de-base/