ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES (notions de base)

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Beaucoup de phénomènes peuvent être décrits par une fonction. Par exemple, le déplacement d’un mobile dans l’espace peut être défini par une fonction f(xyz) où les coordonnées x, y et z correspondent à tous les points de l’espace occupés par le mobile traçant ainsi sa trajectoire. La dérivée (opération mathématique) de cette fonction f a une signification concrète : elle donne la vitesse du mobile ; si on dérive encore le résultat obtenu pour la vitesse, on connaît alors l’accélération du mobile. Les dérivées sont donc des outils mathématiques utiles dans la quantification de ce que nous observons tous les jours. Imaginons maintenant que le déplacement de ce mobile dépende aussi de la température ambiante (T) et, pourquoi pas, de la vitesse du vent (V). Pour bien connaître le comportement du mobile dans l’espace compte tenu des conditions ambiantes, on effectue des dérivées sur les coordonnées, sur T et sur V. Ces dérivées sont appelées dérivées partielles. Il peut être intéressant dans certains processus de s’attacher aux relations qui peuvent apparaître entre les dérivées partielles; on obtient alors des équations aux dérivées partielles (EDP), car la fonction contient plusieurs variables.

On distingue les E.D.P. linéaires, comme l’exemple décrit précédemment, et celles non linéaires. Les premières décrivent de très nombreux problèmes issus des sciences physiques (physique quantique, électromagnétisme, conductivité thermique), de la mécanique (mécanique des fluides, mécanique du solide, élasticité), de la chimie (mécanismes de réaction-diffusion) ou encore de la biologie (dynamique des populations) et de la finance (actifs financiers, ou pricing d'actifs). Un seul exemple : l’équation dite des télégraphistes, car elle est toujours utilisée dans les systèmes de communications. Elle résulte de la mise en équation de la valeur de la tension électrique (U) dans un matériau en fonction du temps (t) et de la distance (x). On imagine bien les déperditions des communications téléphoniques par lignes électriques à une certaine époque. La mise en équation (en relation [...]


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  • : docteur en sciences de la Terre, concepteur de la collection La Science au présent à la demande et sous la direction d'Encyclopædia Universalis, rédacteur en chef de 1997 à 2015

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Pour citer l’article

Yves GAUTIER, « ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES (notions de base) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 27 septembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-aux-derivees-partielles-notions-de-base/