PICARD ÉMILE (1856-1941)

Groupes discontinus

On sait que les substitutions modulaires :

où α, β, γ, δ sont des entiers réels et où αδ − βγ = 1, forment un groupe discontinu d'applications holomorphes du demi-plan :

sur lui-même. Dans le groupe de Picard, opérant sur le plan lui-même, les entiers α, β, γ, δ sont complexes ; pour rendre ce groupe discontinu, une note au Bulletin de la Société mathématique de France (S.M.F.), du 7 mars 1884, le prolonge, comme suit, du plan de la variable complexe z ou plan de base, au demi-espace qu'il limite, rapporté à z = ξ + iη et à une cote > 0, autrement dit aux trois variables réelles ξ, η, ζ.

Comme une substitution S du groupe transforme une circonférence du plan de base en une autre, et deux circonférences orthogonales en deux autres circonférences orthogonales, elle transforme le réseau orthogonal à la circonférence imaginaire, section par le plan de base de la sphère-point (ξ, η, ζ), en le réseau orthogonal à une autre circonférence imaginaire, section par le plan de base d'une autre sphère-point (ξ′, η′, ζ′) ; alors, la formule :

définit le prolongement ûS de S au demi-espace.

Ce groupe de Picard est lié à la réduction modulaire des formes hermitiennes :

x et y étant des variables complexes, a et c des constantes réelles, b une constante complexe ; si cette forme est définie, h(z, 1) = 0 est l'équation dans le plan de base d'une circonférence imaginaire, section d'une sphère-point (ξ, η, ζ) ; ce point, dit représentatif de la forme h, n'est invariant que par un nombre fini de substitutions ûS puisque celles-ci forment un groupe discontinu ; autrement dit, h n'est invariante que par un nombre fini de substitutions modulaires à coefficients complexes.

Si au contraire h est indéfinie, h(z, 1) = 0 est l'équation dans le plan de base d'une circonférence réelle : celle de rayon 1 ayant l'origine pour centre dans le cas le plus simple h(x, y) = xx̄ − yȳ ; cette circonférence peut être conservée par une infinité de substitutions S formant un groupe fuchsien. Dans un mémoire communiqué aux Acta mathematica de 1882, [...]

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