ASYMPTOTIQUES CALCULS

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Développements asymptotiques

Dans ce chapitre, on supposera choisie une échelle de comparaison E (au voisinage d'un point a ou au voisinage de l'infini).

Partie principale

L'idée la plus simple pour étudier le comportement d'une fonction donnée f (au voisinage de a ou de l'infini) est de chercher si, à une constante près, elle est équivalente à une fonction de l'échelle E choisie. S'il existe une telle fonction g de E et une constante ≠ 0 telles que f ∼ cg, c et g sont déterminées de manière unique et on dit que cg est la partie principale de f (par rapport à l'échelle E) ; remarquons que cela équivaut à dire que :

ou encore que (x)/g(x) tend vers une limite finie ≠ 0. Dans le cas où l'échelle choisie est (2) ou (3), on retrouve la notion usuelle de partie principale ; ainsi, 1/sinx a pour partie principale 1/x pour → 0, ex − ea a pour partie principale ea(x − a) pour  a,
a pour partie principale 2x pour x → ∞. Remarquons que la partie principale n'existe pas nécessairement ; en effet, toutes les fonctions d'une échelle logarithmico-exponentielle sont positives pour x assez grand et par suite une fonction « oscillante » (comme sinx, qui s'annule dans tout voisinage de l'infini) n'est comparable à aucune fonction de ce type, pour → ∞. Il se peut aussi que l'échelle choisie ne soit pas assez « riche » et que croisse plus vite ou moins vite que toute fonction de l'échelle, ou encore tombe dans un « trou » de l'échelle : ainsi la fonction ln x n'a pas de partie principale par rapport à l'échelle (2), car elle croît plus vite que x et moins vite que x2.

Développements asymptotiques au sens de Poincaré

Si a une partie principale c1g1 par rapport à une échelle E, on peut chercher à préciser un peu plus le comportement de en étudiant la différence f − c1g1 ; si cette fonction a une partie principale c2g2, on a alors :

De manière générale, on appelle développement asymptotique (au sens de Henri Poincaré) d'ordre k d'une fonction f par rapport à une échelle de comparaison E une somme finie (nécessairement déterminée de manière unique si elle existe) :

telle [...]


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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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STIRLING JAMES (1692-1770)

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  • Universalis
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Mathématicien anglais, né en mai 1692 à Gardon (Stirling) et mort le 5 décembre 1770 à Édimbourg, qui fit faire d'importants progrès à la théorie des séries. Renvoyé d'Oxford pour intelligence avec les jacobites, James Stirling vint, en 1715, étudier à Venise, ce qui lui valut de surnom de Stirling le Vénitien. Il y découvrit les secrets de fabrication des verriers et publia ultérieurement […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/stirling-james-1692-1770/#i_33324

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, Jean-Louis OVAERT, « ASYMPTOTIQUES CALCULS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/calculs-asymptotiques/