ASYMPTOTIQUES CALCULS
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Développements asymptotiques
Dans ce chapitre, on supposera choisie une échelle de comparaison E (au voisinage d'un point a ou au voisinage de l'infini).
Partie principale
L'idée la plus simple pour étudier le comportement d'une fonction donnée f (au voisinage de a ou de l'infini) est de chercher si, à une constante près, elle est équivalente à une fonction de l'échelle E choisie. S'il existe une telle fonction g de E et une constante c ≠ 0 telles que f ∼ cg, c et g sont déterminées de manière unique et on dit que cg est la partie principale de f (par rapport à l'échelle E) ; remarquons que cela équivaut à dire que :


Développements asymptotiques au sens de Poincaré
Si f a une partie principale c1g1 par rapport à une échelle E, on peut chercher à préciser un peu plus le comportement de f en étudiant la différence f − c1g1 ; si cette fonction a une partie principale c2g2, on a alors :

De manière générale, on appelle développement asymptotique (au sens de Henri Poincaré) d'ordre k d'une fonction f par rapport à une échelle de comparaison E une somme finie (nécessairement déterminée de manière unique si elle existe) :


L'exemple le plus simple de cette situation est la théorie classique des développements limités au voisinage d'un point a : ce n'est autre que la recherche du développement asymptotique d'une fonction par rapport à l'échelle (3). Le résultat classique le plus important est ici la formule de Taylor, qui affirme que toute fonction k fois continûment dérivable au voisinage de a admet le développement limité d'ordre k :


Les résultats précédents permettent déjà d'étudier un grand nombre de formes indéterminées.
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Écrit par :
- Jean-Louis OVAERT : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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STIRLING JAMES (1692-1770)
Mathématicien anglais, né en mai 1692 à Gardon (Stirling) et mort le 5 décembre 1770 à Édimbourg, qui fit faire d'importants progrès à la théorie des séries. Renvoyé d'Oxford pour intelligence avec les jacobites, James Stirling vint, en 1715, étudier à Venise, ce qui lui valut de surnom de Stirling le Vénitien. Il y découvrit les secrets de fabrication des verriers et publia ultérieurement A Desc […] Lire la suite
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Pour citer l’article
Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY, « ASYMPTOTIQUES CALCULS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 18 juin 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calculs-asymptotiques/