ASYMPTOTIQUES CALCULS

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Développements asymptotiques

Dans ce chapitre, on supposera choisie une échelle de comparaison E (au voisinage d'un point a ou au voisinage de l'infini).

Partie principale

L'idée la plus simple pour étudier le comportement d'une fonction donnée f (au voisinage de a ou de l'infini) est de chercher si, à une constante près, elle est équivalente à une fonction de l'échelle E choisie. S'il existe une telle fonction g de E et une constante c ≠ 0 telles que f ∼ cg, c et g sont déterminées de manière unique et on dit que cg est la partie principale de f (par rapport à l'échelle E) ; remarquons que cela équivaut à dire que :

ou encore que f (x)/g(x) tend vers une limite finie c ≠ 0. Dans le cas où l'échelle choisie est (2) ou (3), on retrouve la notion usuelle de partie principale ; ainsi, 1/sinx a pour partie principale 1/x pour x → 0, ex − ea a pour partie principale ea(x − a) pour x → a,
a pour partie principale 2x pour x → ∞. Remarquons que la partie principale n'existe pas nécessairement ; en effet, toutes les fonctions d'une échelle logarithmico-exponentielle sont positives pour x assez grand et par suite une fonction « oscillante » (comme x sinx, qui s'annule dans tout voisinage de l'infini) n'est comparable à aucune fonction de ce type, pour x → ∞. Il se peut aussi que l'échelle choisie ne soit pas assez « riche » et que f  croisse plus vite ou moins vite que toute fonction de l'échelle, ou encore tombe dans un « trou » de l'échelle : ainsi la fonction x ln x n'a pas de partie principale par rapport à l'échelle (2), car elle croît plus vite que x et moins vite que x2.

Développements asymptotiques au sens de Poincaré

Si f  a une partie principale c1g1 par rapport à une échelle E, on peut chercher à préciser un peu plus le comportement de f  en étudiant la différence f − c1g1 ; si cette fonction a une partie principale c2g2, on a alors :

De manière générale, on appelle développement asymptotique (au sens de Henri Poincaré) d'ordre k d'une fonction f par rapport à une échelle de comparaison E une somme finie (nécessairement déterminée de manière unique si elle existe) :

telle [...]


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Écrit par :

  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY, « ASYMPTOTIQUES CALCULS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 06 août 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/calculs-asymptotiques/