ASYMPTOTIQUES CALCULS

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Cas des intégrales

Il s'agit d'étudier le comportement asymptotique des restes des intégrales convergentes :

ou d'évaluer des intégrales divergentes :

Cette étude s'effectue en deux étapes. On se ramène au cas où f appartient à une échelle classique de comparaison, grâce au théorème d'intégration des relations de comparaison :

Théorème. Si f et g sont positives et équivalentes au voisinage de + ∞, alors :

– dans le cas convergent :

– dans le cas divergent :

Les énoncés sont analogues pour les relations f = o (g)  et f = O (g). En revanche, on ne peut pas toujours dériver les relations de comparaison ; par exemple :

mais :
n'est pas équivalent à 1.

Pour f appartenant à une échelle classique, si on ne dispose pas d'une primitive explicite, on effectue des intégrations par parties successives. Par exemple, le comportement asymptotique du logarithme intégral :

étudié par Euler et Gauss, est donné par :

De même, la fonction d'erreur, introduite par Gauss en calcul des probabilités,

tend vers 1 si x → + ∞ et son développement asymptotique se déduit de la relation :

Il est important de ne pas confondre les développements asymptotiques avec les séries ; dans de nombreux cas, on n'est capable de déterminer explicitement qu'un petit nombre de termes et d'obtenir cependant ainsi de très précieux renseignements sur les fonctions considérées. De toute façon, un développement asymptotique est essentiellement une somme finie et, même si on peut obtenir un nombre arbitrairement grand de termes, cela n'entraîne nullement que la série correspondante converge, comme le montre l'exemple suivant, étudié par Laplace. Considérons la fonction :

(à une constante près, c'est la fonction « exponentielle-intégrale ») ; par intégration successive par parties, on obtient facilement, pour tout k,
on constate facilement que, pour tout t, la série de terme général (k − 1) !/tk est divergente.

Dans l'exemple du logarithme intégral li (x) donné ci-dessus, on remarquera même que tous les termes du développement tendent vers + ∞ avec x !

À travers les exemples pr [...]

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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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STIRLING JAMES (1692-1770)

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  • Universalis
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Mathématicien anglais, né en mai 1692 à Gardon (Stirling) et mort le 5 décembre 1770 à Édimbourg, qui fit faire d'importants progrès à la théorie des séries. Renvoyé d'Oxford pour intelligence avec les jacobites, James Stirling vint, en 1715, étudier à Venise, ce qui lui valut de surnom de Stirling le Vénitien. Il y découvrit les secrets de fabrication des verriers et publia ultérieurement […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/stirling-james-1692-1770/#i_33324

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, Jean-Louis OVAERT, « ASYMPTOTIQUES CALCULS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 10 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/calculs-asymptotiques/