ASYMPTOTIQUES CALCULS
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Cas des intégrales
Il s'agit d'étudier le comportement asymptotique des restes des intégrales convergentes :
Cette étude s'effectue en deux étapes. On se ramène au cas où f appartient à une échelle classique de comparaison, grâce au théorème d'intégration des relations de comparaison :
Théorème. Si f et g sont positives et équivalentes au voisinage de + ∞, alors :
– dans le cas convergent :
– dans le cas divergent :
Les énoncés sont analogues pour les relations f = o (g) et f = O (g). En revanche, on ne peut pas toujours dériver les relations de comparaison ; par exemple :
Pour f appartenant à une échelle classique, si on ne dispose pas d'une primitive explicite, on effectue des intégrations par parties successives. Par exemple, le comportement asymptotique du logarithme intégral :
De même, la fonction d'erreur, introduite par Gauss en calcul des probabilités,
Il est important de ne pas confondre les développements asymptotiques avec les séries ; dans de nombreux cas, on n'est capable de déterminer explicitement qu'un petit nombre de termes et d'obtenir cependant ainsi de très précieux renseignements sur les fonctions considérées. De toute façon, un développement asymptotique est essentiellement une somme finie et, même si on peut obtenir un nombre arbitrairement grand de termes, cela n'entraîne nullement que la série correspondante converge, comme le montre l'exemple suivant, étudié par Laplace. Considérons la fonction :
Dans l'exemple du logarithme intégral li (x) donné ci-dessus, on remarquera même que tous les termes du développement tendent vers + ∞ avec x !
À travers les exemples précédents, on voit que le rôle de l'intégration par parties est de transformer l'intégrale à étudier en une intégrale négligeable devant la précédente. On peut expliquer le schéma de calcul de la manière suivante. Soit l'intégrale :
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Écrit par
- Jean-Louis OVAERT : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Média
Développements asymptotiques
Encyclopædia Universalis France
Autres références
-
NUMÉRIQUE ANALYSE
- Écrit par Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY
- 6 381 mots
On suppose que a(n) − a admet un développement asymptotique de la forme :
-
STIRLING JAMES (1692-1770)
- Écrit par Encyclopædia Universalis
- 364 mots
Mathématicien anglais, né en mai 1692 à Gardon (Stirling) et mort le 5 décembre 1770 à Édimbourg, qui fit faire d'importants progrès à la théorie des séries. Renvoyé d'Oxford pour intelligence avec les jacobites, James Stirling vint, en 1715, étudier à Venise, ce qui lui valut de surnom de...
Voir aussi
- BESSEL FONCTIONS DE
- PUISSANCE FONCTION
- SÉRIES ENTIÈRES
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- CAUCHY THÉORÈME DE
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- HYPERGÉOMÉTRIQUE SÉRIE
- LOGARITHME INTÉGRAL
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- DÉVELOPPEMENT LIMITÉ
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- REPRÉSENTATION INTÉGRALE
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