ASYMPTOTIQUES CALCULS

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Cas des fonctions définies par des intégrales

Nous dégagerons ici trois méthodes importantes pour étudier le comportement asymptotique d'intégrales dépendant d'un paramètre lorsque ce paramètre tend vers l'infini.

La méthode de Laplace

Considérons une fonction :

définie par une intégrale ; (a, b) est ici un intervalle quelconque, borné ou pas. Pour simplifier, nous supposerons que la fonction h admet un seul maximum. L'idée essentielle ici est que, sous cette hypothèse, c'est la partie de l'intégrale située au voisinage de ce maximum qui est prédominante pour t grand ; par suite, si on remplace la fonction g (xeth(x) par sa partie principale au voisinage de ce point, il est plausible que l'on obtienne, par intégration, la partie principale de I(t) pour t tendant vers l'infini. Nous nous limiterons à un cas particulier simple où le raisonnement ci-dessus est applicable. Plus précisément :

Théorème 1. Soit g et h deux fonctions continûment dérivables dans un intervalle [ab[ borné ou pas (on suppose cependant a fini) telles que g (xeth(x) soit intégrable sur [ab[ pour t assez grand. Supposons de plus que la fonction h admet un maximum pour x = a tel que h′(a) = 0, h″(a) < 0, et g(a) = 0 et que le maximum de h(x) dans tout sous-intervalle [a′, b[, avec a′ > a, est inférieur à h(a) ; on a alors :

  Par exemple, si :
on obtient :

Donnons également une application à la fonction gamma d'Euler :

qui extrapole la factorielle, à savoir, pour n entier naturel, Γ(n + 1) = n !. Après changement de variable u = xt, on obtient :
où l'intégrale est la forme ci-dessus avec h(x) = lnx − x. La fonction h admet un unique maximum pour x = 1 dans l'intervalle (0, + ∞) et h″(1) = − 1 ; appliquant le théorème 2 à chacun des intervalles (0, 1) et (1, + ∞), ce qui revient à multiplier par 2 la formule du théorème 1, on obtient la célèbre formule de Stirling :
qui précise le comportement asymptotique de la fonction gamma lorsque t tend vers l'infini. Le développement asymptotique de lnΓ peut être obtenu par la formule d'Euler-Maclaurin.

La méthode de la phase stationnaire

La méthode de la phase s [...]


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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Mathématicien anglais, né en mai 1692 à Gardon (Stirling) et mort le 5 décembre 1770 à Édimbourg, qui fit faire d'importants progrès à la théorie des séries. Renvoyé d'Oxford pour intelligence avec les jacobites, James Stirling vint, en 1715, étudier à Venise, ce qui lui valut de surnom de Stirling le Vénitien. Il y découvrit les secrets de fabrication des verriers et publia ultérieurement […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/stirling-james-1692-1770/#i_33324

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, Jean-Louis OVAERT, « ASYMPTOTIQUES CALCULS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/calculs-asymptotiques/