ASYMPTOTIQUES CALCULS

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Cas des fonctions définies par des intégrales

Nous dégagerons ici trois méthodes importantes pour étudier le comportement asymptotique d'intégrales dépendant d'un paramètre lorsque ce paramètre tend vers l'infini.

La méthode de Laplace

Considérons une fonction :

définie par une intégrale ; (a, b) est ici un intervalle quelconque, borné ou pas. Pour simplifier, nous supposerons que la fonction h admet un seul maximum. L'idée essentielle ici est que, sous cette hypothèse, c'est la partie de l'intégrale située au voisinage de ce maximum qui est prédominante pour t grand ; par suite, si on remplace la fonction g (xeth(x) par sa partie principale au voisinage de ce point, il est plausible que l'on obtienne, par intégration, la partie principale de I(t) pour t tendant vers l'infini. Nous nous limiterons à un cas particulier simple où le raisonnement ci-dessus est applicable. Plus précisément :

Théorème 1. Soit g et h deux fonctions continûment dérivables dans un intervalle [ab[ borné ou pas (on suppose cependant a fini) telles que g (xeth(x) soit intégrable sur [ab[ pour t assez grand. Supposons de plus que la fonction h admet un maximum pour x = a tel que h′(a) = 0, h″(a) < 0, et g(a) = 0 et que le maximum de h(x) dans tout sous-intervalle [a′, b[, avec a′ > a, est inférieur à h(a) ; on a alors :

  Par exemple, si :
on obtient :

Donnons également une application à la fonction gamma d'Euler :

qui extrapole la factorielle, à savoir, pour n entier naturel, Γ(n + 1) = n !. Après changement de variable u = xt, on obtient :
où l'intégrale est la forme ci-dessus avec h(x) = lnx − x. La fonction h admet un unique maximum pour x = 1 dans l'intervalle (0, + ∞) et h″(1) = − 1 ; appliquant le théorème 2 à chacun des intervalles (0, 1) et (1, + ∞), ce qui revient à multiplier par 2 la formule du théorème 1, on obtient la célèbre formule de Stirling :
qui précise le comportement asymptotique de la fonction gamma lorsque t tend vers l'infini. Le développement asymptotique de lnΓ peut être obtenu par la formule d'Euler-Maclaurin.

La méthode de la phase stationnaire

La méthode de la phase stationnaire a été utilisée par lord Kelvin en 1887, à propos de problèmes d'hydrodynamique, pour étudier des intégrales du type :

g et h sont des fonctions très régulières dans (ab) ; dans les applications physiques, g (x) apparaît comme l'amplitude et th(x) comme la phase du phénomène considéré. L'idée essentielle de Stokes et Kelvin est que la partie prédominante de l'intégrale pour t tendant vers l'infini est obtenue au voisinage des extrémités de l'intervalle d'intégration et surtout au voisinage des points c où la phase est « stationnaire », c'est-à-dire tels que h′ (c) = 0. Intuitivement, lorsque t est grand, le point g (xeith(x) tourne « très vite » autour de 0 dans le plan complexe au voisinage de tout point c de l'intervalle (ab) tel que h′(c) ≠ 0, et cela a pour conséquence de rendre « petite » la partie correspondante de l'intégrale ; si maintenant h′(c) = 0, la phase est stationnaire au voisinage de c, c'est-à-dire que cette rotation est très ralentie et la contribution de l'intégrale au voisinage d'un tel point est prédominante sur le reste. Ce principe peut présenter de nombreux aspects ; nous nous limiterons, à titre indicatif, à deux énoncés mettant en évidence le rôle joué par les extrémités de l'intervalle d'intégration, d'une part, et par la présence de points où la phase est stationnaire, d'autre part. En fait, c'est la contribution de ces derniers qui est prépondérante sur la contribution des extrémités.

Théorème 2 (rôle des extrémités de l'intervalle d'intégration). Soit g et h deux fonctions indéfiniment dérivables dans l'intervalle compact [ab]. Si la fonction h n'a pas de point stationnaire dans l'intervalle, on a :

Théorème 3 (rôle des points où la phase est stationnaire). Supposant encore que g et h sont indéfiniment dérivables dans l'intervalle compact [ab], nous supposerons, de plus, que h′ s'annule en un seul point c de cet intervalle avec g (c) ≠ 0 et h ″(c) ≠ 0. Alors on a, pour t tendant vers l'infini :
Nous renvoyons aux ouvrages spécialisés pour l'étude détaillée des cas obtenus par superposition des phénomènes ci-dessus et pour le cas des intervalles non compacts.

La méthode du col

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Écrit par :

  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY, « ASYMPTOTIQUES CALCULS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 septembre 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calculs-asymptotiques/