ASYMPTOTIQUES CALCULS

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Cas des séries

Généralités

Le cas du développement asymptotique des sommes partielles des séries est analogue à celui des intégrales. Il s'agit d'étudier le comportement asymptotique des restes de séries convergentes :

et des sommes partielles de séries divergentes :

Ici encore, on se ramène au cas où f appartient à une échelle classique, grâce au théorème de sommation des relations de comparaison :

Théorème. Si f et g sont positives et équivalentes au voisinage de + ∞, alors :

– dans le cas convergent :

– dans le cas divergent :

Enfin, lorsque f  appartient à une échelle classique, on compare les sommes précédentes à des intégrales. Cette comparaison est facile lorsque f  varie « lentement » ; plus précisément, on a :

Théorème de Hardy. Soit f  une fonction à valeurs complexes de classe C1, pour x ≥ 0, telle que sa dérivée f ′ soit intégrable au voisinage de + ∞. Alors, la suite :

est convergente.

Par exemple, la suite :

admet une limite, traditionnellement notée γ et appelée constante d'Euler. Ce nombre est de nature encore très mystérieuse et on ne sait même pas s'il est rationnel ou irrationnel. Une valeur approchée à 20 décimales est :

Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin

Si l'on désire un développement asymptotique à une précision plus grande, on fait appel à une technique beaucoup plus élaborée, la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin. On suppose ici que f  est suffisamment dérivable et que, pour tout entier k, la dérivée k-ième f (k) est négligeable devant f (k-1).

On se propose d'évaluer des sommes du type :

par comparaison avec l'intégrale :
Plus précisément écrivons :
on se ramène d'abord à l'intervalle [0, 1] pour chacune des intégrales de la somme de droite par les changements de variable u + n − 1 = t. On a, pour chacune de ces intégrales :
après intégration par parties, en prenant une primitive P1 du polynôme constant P0 = 1. De même, en prenant une primitive P2 de P1, on a, par intégration par parties :
 

On poursuit ce processus jusqu'au rang r, c'est-à-dire jusqu'à un reste portant sur f (r+1), et on choisit les primitives successives Pk de P0= 1 de telle sorte que [...]


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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Autres références

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NUMÉRIQUE ANALYSE

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Dans le chapitre « Généralisations »  : […] On suppose que a ( n ) −  a admet un développement asymptotique de la forme : on notera que le cas où r n admet un développement asymptotique de la forme : se ramène au précédent en introduisant la suite ( a ′( n )) de terme général […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-numerique/#i_33324

STIRLING JAMES (1692-1770)

  • Écrit par 
  • Universalis
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Mathématicien anglais, né en mai 1692 à Gardon (Stirling) et mort le 5 décembre 1770 à Édimbourg, qui fit faire d'importants progrès à la théorie des séries. Renvoyé d'Oxford pour intelligence avec les jacobites, James Stirling vint, en 1715, étudier à Venise, ce qui lui valut de surnom de Stirling le Vénitien. Il y découvrit les secrets de fabrication des verriers et publia ultérieurement […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/stirling-james-1692-1770/#i_33324

Voir aussi

NOMBRES DE BERNOULLI  •  POLYNÔMES DE BERNOULLI  •  CONSTANTE D' EULER  •  FORMULE D' EULER-MACLAURIN  •  INTÉGRATION PAR PARTIES  •  SÉRIES ENTIÈRES

Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, Jean-Louis OVAERT, « ASYMPTOTIQUES CALCULS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 18 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/calculs-asymptotiques/