ASYMPTOTIQUES CALCULS

Cas des séries

Généralités

Le cas du développement asymptotique des sommes partielles des séries est analogue à celui des intégrales. Il s'agit d'étudier le comportement asymptotique des restes de séries convergentes :

et des sommes partielles de séries divergentes :

Ici encore, on se ramène au cas où f appartient à une échelle classique, grâce au théorème de sommation des relations de comparaison :

Théorème. Si f et g sont positives et équivalentes au voisinage de + ∞, alors :

– dans le cas convergent :

– dans le cas divergent :

Enfin, lorsque f  appartient à une échelle classique, on compare les sommes précédentes à des intégrales. Cette comparaison est facile lorsque f  varie « lentement » ; plus précisément, on a :

Théorème de Hardy. Soit f  une fonction à valeurs complexes de classe C¹, pour x ≥ 0, telle que sa dérivée f ′ soit intégrable au voisinage de + ∞. Alors, la suite :

est convergente.

Par exemple, la suite :

admet une limite, traditionnellement notée γ et appelée constante d'Euler. Ce nombre est de nature encore très mystérieuse et on ne sait même pas s'il est rationnel ou irrationnel. Une valeur approchée à 20 décimales est :

Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin

Si l'on désire un développement asymptotique à une précision plus grande, on fait appel à une technique beaucoup plus élaborée, la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin. On suppose ici que f  est suffisamment dérivable et que, pour tout entier k, la dérivée k-ième f ^(k) est négligeable devant f ^(k-1).

On se propose d'évaluer des sommes du type :

par comparaison avec l'intégrale :Plus précisément écrivons :on se ramène d'abord à l'intervalle [0, 1] pour chacune des intégrales de la somme de droite par les changements de variable u + n − 1 = t. On a, pour chacune de ces intégrales :après intégration par parties, en prenant une primitive P₁ du polynôme constant P₀ = 1. De même, en prenant une primitive P₂ de P₁, on a, par intégration par parties : 

On poursuit ce processus jusqu'au rang r, c'est-à-dire jusqu'à un reste portant sur f ^(r+1), et on choisit les primitives successives P_k de P₀= 1 de telle sorte que [...]

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