ASYMPTOTIQUES CALCULS

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Cas des séries

Généralités

Le cas du développement asymptotique des sommes partielles des séries est analogue à celui des intégrales. Il s'agit d'étudier le comportement asymptotique des restes de séries convergentes :

et des sommes partielles de séries divergentes :

Ici encore, on se ramène au cas où f appartient à une échelle classique, grâce au théorème de sommation des relations de comparaison :

Théorème. Si f et g sont positives et équivalentes au voisinage de + ∞, alors :

– dans le cas convergent :

– dans le cas divergent :

Enfin, lorsque appartient à une échelle classique, on compare les sommes précédentes à des intégrales. Cette comparaison est facile lorsque varie « lentement » ; plus précisément, on a :

Théorème de Hardy. Soit une fonction à valeurs complexes de classe C1, pour x ≥ 0, telle que sa dérivée ′ soit intégrable au voisinage de + ∞. Alors, la suite :

est convergente.

Par exemple, la suite :

admet une limite, traditionnellement notée γ et appelée constante d'Euler. Ce nombre est de nature encore très mystérieuse et on ne sait même pas s'il est rationnel ou irrationnel. Une valeur approchée à 20 décimales est :

Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin

Si l'on désire un développement asymptotique à une précision plus grande, on fait appel à une technique beaucoup plus élaborée, la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin. On suppose ici que est suffisamment dérivable et que, pour tout entier k, la dérivée k-ième (k) est négligeable devant (k-1).

On se propose d'évaluer des sommes du type :

par comparaison avec l'intégrale :
Plus précisément écrivons :
on se ramène d'abord à l'intervalle [0, 1] pour chacune des intégrales de la somme de droite par les changements de variable u + n − 1 = t. On a, pour chacune de ces intégrales :
après intégration par parties, en prenant une primitive P1 du polynôme constant P0 = 1. De même, en prenant une primitive P2 de P1, on a, par intégration par parties :

On poursuit ce processus jusqu'au rang r, c'est-à-dire jusqu'à un reste portant sur (r+1), et on choisit les primitives successives Pk de P0= 1 de telle sorte que les termes tout intégrés disparaissent deux à deux dans la sommation lorsque n varie de p + 1 à q. Il suffit pour cela d'imposer au polynôme Pk de vérifier les relations : P′k = Pk-1 pour k ≥ 1 et Pk (1) = Pk (0) pour ≥ 2, ou, ce qui revient au même, pour tout ≥ 1,

On démontre qu'il existe une suite (Pk) et une seule satisfaisant à ces conditions. Plus précisément, pour tout entier naturel k,

où Bk est le k-ième polynôme de Bernoulli, considéré par J. Bernoulli comme solution de l'équation aux différences : P(x + 1) − P(x) = kxk-1. Ces polynômes peuvent être introduits par la série génératrice formelle :

En fait, dans ce qui précède, seuls interviennent les nombres de Bernoulli βk = Bk(0).

Pour expliciter les calculs précédents, il convient de distinguer deux cas, suivant que :

est intégrable au voisinage de + ∞ ; il s'agit alors d'évaluer le reste :

f  n'est pas intégrable ; il s'agit alors d'évaluer la somme partielle :

Ces deux cas sont explicités dans l'article sur l'histoire du calcul numérique déjà cité, avec des exemples classiques, comme la formule de Stirling et des applications à la fonction gamma.

Il convient de noter que la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin est de type asymptotique, c'est-à-dire que les restes ne tendent pas nécessairement vers 0. Mais, lorsque ce reste tend vers 0, la formule sommatoire fournit des développements en série. Ainsi, appliquant cette formule à la fonction  ezt, on montre que, pour |z | < 2π,

On en déduit les développements en séries entières des fonctions trigonométriques :

La formule d'Euler-Maclaurin s'applique à l'évaluation de sommes portant sur une fonction f dont les dérivées décroissent de plus en plus. Les cas les plus fréquents en mathématiques appliquées sont ceux où f présente un amortissement constant, une phase tournante constante, et la situation mixte. Par exemple, supposons que l'on veuille évaluer :

avec z = x + iy, x ≥ 0 (z ≠ 2ikπ) et α ≥ 0. On peut penser à comparer e-nz/nα à l'intégrale :
Or, en première approximation, 1/tα varie peu sur [n − 1, n] tandis que e-tz présente de manière mixte un amortissement et une phase tournante, ce qui conduit à l'estimation :
Autrement dit, le terme e-nz/nα est multiplié par un facteur constant dû à l'amortissement et à la p [...]

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Écrit par :

  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY, « ASYMPTOTIQUES CALCULS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 11 mai 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calculs-asymptotiques/