ASYMPTOTIQUES CALCULS
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Cas des séries
Généralités
Le cas du développement asymptotique des sommes partielles des séries est analogue à celui des intégrales. Il s'agit d'étudier le comportement asymptotique des restes de séries convergentes :


Ici encore, on se ramène au cas où f appartient à une échelle classique, grâce au théorème de sommation des relations de comparaison :
Théorème. Si f et g sont positives et équivalentes au voisinage de + ∞, alors :
– dans le cas convergent :

– dans le cas divergent :

Enfin, lorsque f appartient à une échelle classique, on compare les sommes précédentes à des intégrales. Cette comparaison est facile lorsque f varie « lentement » ; plus précisément, on a :
Théorème de Hardy. Soit f une fonction à valeurs complexes de classe

Par exemple, la suite :


Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin
Si l'on désire un développement asymptotique à une précision plus grande, on fait appel à une technique beaucoup plus élaborée, la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin. On suppose ici que f est suffisamment dérivable et que, pour tout entier k, la dérivée k-ième f (k) est négligeable devant f (k-1).
On se propose d'évaluer des sommes du type :





On poursuit ce processus jusqu'au rang r, c'est-à-dire jusqu'à un reste portant sur f (r+1), et on choisit les primitives successives Pk de P0= 1 de telle sorte que les termes tout intégrés disparaissent deux à deux dans la sommation lorsque n varie de p + 1 à q. Il suffit pour cela d'imposer au polynôme Pk de vérifier les relations : P′k = Pk-1 pour k ≥ 1 et Pk (1) = Pk (0) pour k ≥ 2, ou, ce qui revient au même, pour tout k ≥ 1,

On démontre qu'il existe une suite (Pk) et une seule satisfaisant à ces conditions. Plus précisément, pour tout entier naturel k,


En fait, dans ce qui précède, seuls interviennent les nombres de Bernoulli βk = Bk(0).
Pour expliciter les calculs précédents, il convient de distinguer deux cas, suivant que :
f est intégrable au voisinage de + ∞ ; il s'agit alors d'évaluer le reste :

f n'est pas intégrable ; il s'agit alors d'évaluer la somme partielle :

Ces deux cas sont explicités dans l'article sur l'histoire du calcul numérique déjà cité, avec des exemples classiques, comme la formule de Stirling et des applications à la fonction gamma.
Il convient de noter que la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin est de type asymptotique, c'est-à-dire que les restes ne tendent pas nécessairement vers 0. Mais, lorsque ce reste tend vers 0, la formule sommatoire fournit des développements en série. Ainsi, appliquant cette formule à la fonction t ↦ ezt, on montre que, pour |z | < 2π,


La formule d'Euler-Maclaurin s'applique à l'évaluation de sommes portant sur une fonction f dont les dérivées décroissent de plus en plus. Les cas les plus fréquents en mathématiques appliquées sont ceux où f présente un amortissement constant, une phase tournante constante, et la situation mixte. Par exemple, supposons que l'on veuille évaluer :



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Écrit par :
- Jean-Louis OVAERT : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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STIRLING JAMES (1692-1770)
Mathématicien anglais, né en mai 1692 à Gardon (Stirling) et mort le 5 décembre 1770 à Édimbourg, qui fit faire d'importants progrès à la théorie des séries. Renvoyé d'Oxford pour intelligence avec les jacobites, James Stirling vint, en 1715, étudier à Venise, ce qui lui valut de surnom de Stirling le Vénitien. Il y découvrit les secrets de fabrication des verriers et publia ultérieurement A Desc […] Lire la suite
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Pour citer l’article
Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY, « ASYMPTOTIQUES CALCULS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 11 mai 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calculs-asymptotiques/