ASYMPTOTIQUES CALCULS
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Cas des solutions d'équations le champ réel et le champ complexe.
Systèmes dans le champ réel
Plaçons-nous d'abord dans le cas d'un système linéaire à coefficients constants :


Examinons maintenant l'effet d'une perturbation t ↦ R (t) de A sur le comportement asymptotique d'une solution du système linéaire (1). On peut conjecturer que, si la perturbation est assez petite à l'infini, ce comportement n'est pas notablement modifié. Plus précisément, supposons A diagonalisable et soit λ une valeur propre de A. Si l'intégrale :


Par exemple, soit l'équation de Bessel réduite :



Les fonctions t ↦ eit, et t ↦ e-it constituent une base de l'espace vectoriel des solutions de l'équation non perturbée u″ + u = 0. D'après le résultat précédent, il existe donc un couple (u1, u2) de solutions et un seul de l'équation perturbée tel que :

Si, maintenant, A n'est pas diagonalisable, il convient d'imposer à R des conditions plus strictes. Lorsque λj est d'indice nj , on suppose que :


Pour le comportement asymptotique des systèmes [...]
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Écrit par :
- Jean-Louis OVAERT : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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STIRLING JAMES (1692-1770)
Mathématicien anglais, né en mai 1692 à Gardon (Stirling) et mort le 5 décembre 1770 à Édimbourg, qui fit faire d'importants progrès à la théorie des séries. Renvoyé d'Oxford pour intelligence avec les jacobites, James Stirling vint, en 1715, étudier à Venise, ce qui lui valut de surnom de Stirling le Vénitien. Il y découvrit les secrets de fabrication des verriers et publia ultérieurement A Desc […] Lire la suite
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Pour citer l’article
Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY, « ASYMPTOTIQUES CALCULS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calculs-asymptotiques/