ASYMPTOTIQUES CALCULS

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Cas des solutions d'équations le champ réel et le champ complexe.

Systèmes dans le champ réel

Plaçons-nous d'abord dans le cas d'un système linéaire à coefficients constants :

où A est une matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes et x : t ↦ x (t) une fonction de classe C1 sur [0, + ∞ [ à valeurs dans Cn. Pour toute condition initiale a ∈ Cn, l'unique solution du problème de Cauchy x(0) = a est donnée par :
Lorsque A est diagonalisable, de valeurs propres λ1 ...., λr, le comportement asymptotique de x(t) est gouverné par la valeur propre de plus grande partie réelle. En particulier, les solutions tendent vers 0 à l'infini si et seulement si, pour tout j, on a Re λj ≤ 0. Lorsque A n'est pas diagonalisable et que λj est d'indice nj, il existe des solutions se comportant comme tk ejt, où 0 ≤ k ≤ nj − 1. Les solutions tendent encore vers 0 à l'infini si et seulement si Re λj < 0.

Examinons maintenant l'effet d'une perturbation t ↦ R (t) de A sur le comportement asymptotique d'une solution du système linéaire (1). On peut conjecturer que, si la perturbation est assez petite à l'infini, ce comportement n'est pas notablement modifié. Plus précisément, supposons A diagonalisable et soit λ une valeur propre de A. Si l'intégrale :

est convergente, alors, pour tout vecteur propre b de A associé à la valeur propre λ, il existe une solution x et une seule de l'équation perturbée :
telle que x(t) ∼ eλt au voisinage de + ∞.

Par exemple, soit l'équation de Bessel réduite :

qui équivaut au système linéaire :
ici :

Les fonctions t ↦ eit, et t ↦ e-it constituent une base de l'espace vectoriel des solutions de l'équation non perturbée u″ + u = 0. D'après le résultat précédent, il existe donc un couple (u1, u2) de solutions et un seul de l'équation perturbée tel que :

cette méthode donne donc le comportement asymptotique des fonctions de Bessel.

Si, maintenant, A n'est pas diagonalisable, il convient d'imposer à R des conditions plus strictes. Lorsque λj est d'indice nj , on suppose que :

ce qui entraîne l'existence d'une solution x telle que :

Pour le comportement asymptotique des systèmes [...]


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Écrit par :

  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY, « ASYMPTOTIQUES CALCULS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 juillet 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/calculs-asymptotiques/