LIMITE (mathématique)

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La notion mathématique de limite a été introduite en 1735 par le mathématicien anglais Benjamin Robins comme ce vers quoi tendent, sans jamais l'atteindre, certains rapports de quantités variables. Précisée en 1800 par le mathématicien et physicien allemand Carl Friedrich Gauss pour les suites de nombres réels, puis en 1823 par le mathématicien français Augustin-Louis Cauchy, qui la met à la base du calcul infinitésimal et introduit la notation « lim » pour « limite », elle reçut une définition précise et générale grâce aux notions d'espace topologique, donnée par le mathématicien allemand Felix Hausdorff en 1914, et de filtre, introduite en 1937 par le mathématicien français Henri Cartan.

Des images géométriques intuitives permettent d'approcher la notion de limite.

Imaginons, dans un plan, deux courbes ayant des branches infinies qui se rapprochent indéfiniment l'une de l'autre (on dit qu'elles sont asymptotiques) : leur distance, c'est-à-dire la distance minimale d'un point d'une courbe à l'autre courbe, diminue constamment lorsque ce point se déplace (dans le « bon » sens) sur sa courbe, mais n'est jamais nulle ; on peut dire que, dans ces conditions, cette distance a pour limite 0 et que cette limite n'est pas atteinte.

Une autre image consiste à concevoir une courbe qui s'enroule indéfiniment en spirale autour d'un point, sans l'atteindre : elle tourne autour de ce point, qui est pour elle un point limite. Une courbe peut avoir deux ou plusieurs points limites non atteints : dans un plan, imaginons une courbe C qui s'enroule alternativement autour de deux points A et B en passant de l'un à l'autre comme lorsque l'on trace le chiffre « 8 », mais en se rapprochant constamment de A et de B, sans pour autant les atteindre.

Dans ces trois exemples, la limite n'est pas atteinte. Mais, pour la courbe C' formée de la réunion de la courbe C et du point A, le point A est un point limite [...]


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Écrit par :

  • : éditeur, diplômé en sciences de l'éducation, mathématique, économie, philosophie, ethnologie et bibliothéconomie

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Pour citer l’article

Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN, « LIMITE (mathématique) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 08 décembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/limite/