L'objet de la théorie spectrale est d'obtenir, pour certains endomorphismes d'un espace hilbertien, des formes réduites analogues aux formes canoniques de Jordan pour les endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie et aux formes diagonales pour les endomorphismes hermitiens d'un espace vectoriel hermitien de dimension finie. La théorie des applications de Hilbert-Schmidt, rencontrées pour la première fois à propos des équations intégrales, permet de construire une première généralisation des résultats obtenus en dimension finie. En fait, le cadre naturel de cette généralisation est celui des applications compactes, étudiées par F. Riesz.
Néanmoins, le cas des endomorphismes les plus généraux échappe à ce cadre ; il fait l'objet de la théorie spectrale de Hilbert, qui utilise les techniques de l'intégration. On a axiomatisé la théorie spectrale, grâce aux concepts généraux de C*-algèbre et d'algèbre hilbertienne.
1. Théorie spectrale algébrique
Tant en algèbre qu'en analyse, on est fréquemment amené à définir et à calculer des fonctions d'un endomorphisme u d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K (inverse, puissances, exponentielle, etc.). À cet effet, il est utile de chercher les droites de E stables par u. On est ainsi conduit aux notions de valeur propre et de vecteur propre. On dit qu'un élément non nul x de E est un vecteur propre de u si la droite engendrée par x est stable par u, c'est-à-dire s'il existe un élément λ de K tel que u(x) = λx. On dit qu'un scalaire λ est une valeur propre de u si le noyau de u − λIE est non réduit à {0}. L'ensemble des valeurs propres de u s'appelle spectre ponctuel de u et se note sp (u).
Même lorsque E est de dimension finie et que K est algébriquement clos, il peut arriver que E ne soit pas somme directe de droites stables par u. C'est le cas par exemple lorsque u est un endomorphisme nilpotent non nul de E. On voit apparaître l'intérêt de la notion d'endomorphisme diagonalisable : on appelle ainsi un endomorphisme u de E tel que E soit somme directe de droites stables par u, ou encore tel qu'il existe une base de E constituée de vecteurs propres de u
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