Les premières équations intégrales furent obtenues par Daniel Bernoulli vers 1730 dans l'étude des oscillations d'une corde tendue (cf. analyse mathématique, chap. 6). Après l'introduction du noyau de Green, il fallut attendre les dernières années du xixe siècle, avec les travaux de H. A. Schwarz, de H. Poincaré, de V. Volterra et surtout ceux de I. Fredholm, pour disposer de résultats généraux en liaison étroite avec les premiers développements de l'analyse fonctionnelle. Quelques années plus tard, l'étude des équations intégrales conduisait D. Hilbert à définir l'espace qui porte son nom et à poser les premières bases de la théorie spectrale, cadre dans lequel F. Riesz développa la théorie des opérateurs compacts (1918). Ainsi, les équations intégrales ont joué un rôle historique important dans l'élaboration des principaux concepts de l'analyse contemporaine.
1. Exemples
La forme usuelle d'une équation intégrale est :
• Problème de Sturm-Liouville
Le problème de Sturm-Liouville (cf. équations différentielles, chap. 3) concerne les valeurs du paramètre réel λ pour lesquelles l'équation différentielle linéaire homogène :
(où L est un opérateur différentiel d'ordre n à coefficients continus sur un intervalle compact [a, b] de R et r une fonction continu […]
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