C'est à travers l'étude de certains problèmes d'analyse fonctionnelle (équations intégrales, séries de Fourier, problème de Sturm-Liouville et, plus généralement, problèmes aux limites dans les équations aux dérivées partielles) qu'est apparue la notion de système orthogonal de fonctions. Ces problèmes amènent à considérer des espaces hermitiens constitués de fonctions et à déterminer les valeurs propres et les fonctions propres (cf. théorie spectrale) de certains endomorphismes de ces espaces. Dans le cas d'un opérateur hermitien, les sous-espaces propres sont orthogonaux deux à deux. Le problème essentiel consiste alors à chercher des bases hilbertiennes constituées de fonctions propres.
1. Équation intégrale de Fredholm
Soit E un ensemble muni d'une mesure positive μ et k une fonction de carré intégrable sur E × E. Pour toute fonction f de carré intégrable sur E et pour presque tout élément x de E, la fonction y ↦ k (x, y) f (y) est intégrable sur E et la fonction g, définie presque partout par la formule :
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