2. Théorie de Riesz des applications linéaires compactes
• Applications linéaires compactes
Historiquement, la notion d'application linéaire compacte s'est introduite sous le nom d'application complètement continue : étant donné deux espaces vectoriels normés E et F, une application linéaire u de E dans F est dite complètement continue si de toute suite bornée (xn) d'éléments de E on peut extraire une suite (yp) telle que la suite (u(yp)) soit convergente dans F.
F. Riesz fut le premier à remarquer que cette condition permet de retrouver tous les résultats de la théorie de Fredholm (cf. équations intégrales, chap. 5). En utilisant la caractérisation des espaces métriques compacts à l'aide de la condition de Bolzano-Weierstrass, on voit immédiatement qu'une application linéaire u de E dans F est complètement continue si et seulement si l'image par u de la boule unité de E est une partie relativement compacte de F. Sous cette forme, la notion d'application complètement continue peut se généraliser aux espaces vectoriels topologiques.
Plus précisément, soit E et F deux espaces vectoriels topologiques localement convexes séparés. On dit qu'une application linéaire u de E dans F est compacte (resp. précompacte) s'il existe un voisinage V de 0 dans E tel que u(V) soit une partie relativement compacte (resp. précompacte) de F.
Toute application compacte est précompacte ; la réciproque est vraie si l'espace vectoriel F est complet ou, plus généralement, si toute partie fermée bornée de F est complète. Toute application précompacte est continue ; la réciproque est fausse. Ainsi, pour que l'application identique IE de E soit précompacte, il faut et il suffit que E soit de dimension finie, auquel cas elle est compacte (lemme de F. Riesz).
Les applications compactes de E dans F constituent un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans F.
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