3. Théorie spectrale de Hilbert
Soit u un endomorphisme continu normal d'un espace hilbertien E. La sous-algèbre unitaire fermée autoadjointe A de L(E) engendrée par u est une C*-algèbre commutative unitaire, dont le spectre s'identifie canoniquement à celui de u (cf. algèbres normées). De plus, la transformation de Gelfand est un isomorphisme de A sur l'algèbre C(sp(A)) des fonctions continues sur le spectre de A. L'isomorphisme réciproque définit un morphisme ϕ de C(sp(A)) dans l'algèbre unitaire L(E) ; c'est l'unique morphisme de C(sp(A)) dans L(E) tel que ϕ(z) =u, où z est l'injection canonique de sp (A) dans C. Pour tout élément f de C(sp (A)), l'endomorphisme ϕ(f ) se note encore f (u). Cette théorie permet donc de définir un calcul fonctionnel portant sur les fonctions continues de u. En particulier, u* = ϕ(z̄). L'objet de la théorie spectrale de Hilbert est d'étendre le calcul fonctionnel à des fonctions plus générales. On observe à cet effet que, pour tout couple (x, y) d'éléments de E, l'application :
Les mesures μx,y s'appellent mesures spectrales associées à u. On dit qu'une fonction f définie sur sp(u) à valeur […]
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