STABILITÉ

Pour un ensemble mécanique (D), dont la situation par rapport à un repère galiléen (g) est caractérisée par la donnée de n paramètres géométriques indépendants (q₁, ..., q_i, ..., q_n), la connaissance des conditions initiales et des champs de forces à distance ainsi que l'intervention d'hypothèses sur les efforts de liaison (lorsque de tels efforts se manifestent) permettent d'établir des prévisions q_i = f_i(t ) par intégration des équations régissant les mouvements possibles de (D).

Si l'on modifie un peu les conditions initiales, c'est-à-dire les valeurs : q_i(0) et (dq_i/dt)(0) = q′_i(0), ou si l'on modifie les champs de forces à distance, tout en conservant les mêmes hypothèses sur les efforts de liaison, on établit des prévisions :

La question est de savoir si tous les ε_i(t) restent petits dans le déroulement évolutif des phénomènes. S'il en est ainsi, on dira que le mouvement de (D), prévu et caractérisé par q_i = f_i(t), avec i = 1, ..., n, est stable. Il y a lieu de préciser les locutions : « modifier un peu » et « rester petit » qui ont une signification intuitive, ce qui ne saurait suffire à élaborer une théorie valable.

Le problème présente de l'intérêt, car les conditions initiales et les champs à distance sont connus et fournis à partir de mesures expérimentales, et une prédiction analytique stricte est donc impossible (en particulier, il y a lieu de distinguer entre les conditions initiales voulues et celles qui sont effectivement réalisées).

Souvent, les mouvements sont simples ou bien les variables choisies pour les décrire s'expriment simplement en fonction du temps. Les deux cas les plus fréquents sont les suivants :

– tous les q_i sont prévus comme devant rester constants, c'est-à-dire indépendants du temps :

– parmi les q_i de l'ensemble configuratif (q), certains sont prévus comme devant rester constants (par exemple les p premiers pour fixer les idées), les autres le sont comme devant être des fonctions du premier degré par rapport au temps :

Les définitions des termes doivent être précisées ; quelques exemples particuliers doivent être explicités a priori, et quelques théorèmes généraux énoncés et appliqués ; mais la question générale reste complexe : elle est la préoccupation d'un grand nombre de chercheurs mathématiciens, physiciens et techniciens. Son domaine d'applications est vaste et comprend, entre autres, l'astronomie classique, la balistique classique et récente, notamment les engins spéciaux, les lanceurs et les satellites (cf. missiles).

On peut toujours poser :

Dans des exemples plus difficiles, ce sont des fonctions assez compliquées des q_i et des q′_i, à savoir :

Exemple issu de la dynamique du solide

Un solide (S) est dit animé d'un mouvement à la Poinsot si l'un de ses points O_S reste immobile dans un repère galiléen et si le moment en O_s du torseur des efforts extérieurs agissant sur (S) est nul.

Lorsque le mouvement à la Poinsot d'un solide (S) se fait spontanément autour d'un axe immobile dans un repère galiléen, cet axe doit être un axe principal[...]